En cálculo cuando estudiamos funciones descubrimos que ocurría algo especial cuando tenemos una función con ciertas características y la derivamos y luego la integramos. Primero lo vimos con funciones de una variable y luego se generalizo con funciones vectoriales. pues ocurre algo parecido cuando estamos hablando de formas diferenciales integradas sobre una cadena. El teorema de Stokes se puede considerar como el teorema fundamental del cálculo (Veremos que el clásico teorema fundamental es un caso particular del teorema de Stokes). El teorema se enuncia de la siguiente manera:
TEOREMA DE STOKES
Si $\omega$ es una (k-1)-forma diferencial en $A$ y $c$ es una k-cadena en $A$, entonces
$$\int_{c}d\omega=\int_{\partial c}\omega$$
La demostración del teorema se basa principalmente en desarrollara ambos miembros de la igualdad en un caso particular de cubos y después es fácil extenderlo a k-cadenas en general, se hará detenidamente y mencionando los detalles detenidamente, la demostración esta basada en la hecha en la referencia ${(1)}$.
DEMOSTRACIÓN
Consideremos el cubo $I^k$, que es la "identidad" o intuitivamente un "cubo" k dimencional tal que si $x\in [0,1]^k\rightarrow \mathbb{R}^k$ entonces $I^{k}(x)=x$ y sea $\omega$ una (k-1)-forma entonces es una combinación lineal del siguiente estilo
$$\omega=\sum_{i_1< \cdot <i_{k-1}}f_{i_1,...,i_k}dx_{i_1}\wedge dx_{i_2}\wedge\cdots \wedge dx_{i_{k-1}}$$
Si probamos el teorema para un solo termino se demuestra para caulauiqe combinación lineal es decir cualquier (k-1)-forma. Solo basta probar $$fdx_1\wedge\cdots \wedge \hat{dx_i}\wedge\cdots \wedge dx_k$$
Donde $\hat{a}$ denota que se salta ese termino asi tenemos una (k-1)-forma. Del lado derecho de la igualdad del teorema tenemos que
$$\int_{\partial I^k}fdx_1\wedge\cdots \wedge \hat{dx_i}\wedge\cdots \wedge dx_k$$ para calcularlo usamos la igualdad obtenida en el post anterior $\int_{c\circ \omega}\omega=\int_{\sigma}c^{*}\omega$ Por lo tanto
$$\int_{\partial I^k}fdx_1\wedge\cdots \wedge \hat{dx_i}\wedge\cdots \wedge dx_k=\int_{[0,1]^{k-1}}{ { \partial I^{ k } } }^{ * }(fdx_1\wedge\cdots \wedge \hat{dx_i}\wedge\cdots \wedge dx_k)$$
Usando la definición de $\partial$ se tiene
$$\sum_{j=1}^{k}\sum_{\alpha=0,1}(-1)^{i+\alpha}\int_{[0,1]^{k-1}}{ { I_{(j,\alpha)}^{ k } } }^{ * }(fdx_1\wedge\cdots \wedge \hat{dx_i}\wedge\cdots \wedge dx_k)$$
Mostrare que casi todos los sumandos se anulan, si $j\neq i$ entonces por propiedades del operador $c^{*}$ y del producto exterior
$$\int_{\partial I^k}fdx_1\wedge\cdots \wedge \hat{dx_i}\wedge\cdots \wedge dx_k=\int_{[0,1]^{k-1}}{ { \partial I^{ k } } }^{ * }(fdx_1\wedge\cdots \wedge \hat{dx_i}\wedge\cdots \wedge dx_k)$$
Usando la definición de $\partial$ se tiene
$$\sum_{j=1}^{k}\sum_{\alpha=0,1}(-1)^{i+\alpha}\int_{[0,1]^{k-1}}{ { I_{(j,\alpha)}^{ k } } }^{ * }(fdx_1\wedge\cdots \wedge \hat{dx_i}\wedge\cdots \wedge dx_k)$$
Mostrare que casi todos los sumandos se anulan, si $j\neq i$ entonces por propiedades del operador $c^{*}$ y del producto exterior
$${ { I_{(j,\alpha)}^{ k } } }^{ * }(fdx_1\wedge\cdots \wedge \hat{dx_i}\wedge\cdots \wedge dx_k)=f( I_{(\alpha,i)}^{ k })dx_1\wedge\cdots \wedge {d\alpha}\wedge\cdots \hat{dx_i}\wedge \cdots dx_k$$
Pero como $\alpha$ es una constante $d\alpha=0$, asi si $j\neq i$ entonces ${ { I_{(\alpha,i)}^{ k } } }^{ * }(fdx_1\wedge\cdots \wedge \hat{dx_i}\wedge\cdots \wedge dx_k)=0$
Por lo tanto
$$\sum_{\alpha=0,1}(-1)^{i+\alpha}\int_{[0,1]^{k-1}}{ { I_{(i,\alpha)}^{ k } } }^{ * }(fdx_1\wedge\cdots \wedge \hat{dx_i}\wedge\cdots \wedge dx_k)$$
Y finalmente aplicando la transformacion $I_{i,\alpha}^{*}$ y tomando el hecho de que $\int_{I^{k}}fdx_1\wedge\cdots \wedge dx_k=\int_{[0,1]^{k}}f(x_1,...,x_k)dx_1...dx_k$ (Vease la referencia $(2)$) obtenemos que
$$\int_{\partial I^k}fdx_1\wedge\cdots \wedge \hat{dx_i}\wedge\cdots \wedge dx_k=\sum_{\alpha=0,1}(-1)^{i+\alpha}\int_{[0,1]^{k}}f(I_{(i,\alpha)})dx_1...dx_k=(-1)^{i+1}\int_{[0,1]^{k}}f(x_1,...,1,...,x_k)dx_1...dx_k+(-1)^{i}\int_{[0,1]^{k}}f(x_1,...,0,...,x_k)dx_1...dx_k$$
Es visto como una integral sobre el intevalo $[0,1]^k$ porque es constante con respecto a $x_i$
Por otra parte desarrollamos el otro lado de la igualdad
$$\int_{I^k}d(fdx_1\wedge\cdots \wedge \hat{dx_i}\wedge\cdots \wedge dx_k)$$
Por definición del operador $d$ es igual a
Es visto como una integral sobre el intevalo $[0,1]^k$ porque es constante con respecto a $x_i$
Por otra parte desarrollamos el otro lado de la igualdad
$$\int_{I^k}d(fdx_1\wedge\cdots \wedge \hat{dx_i}\wedge\cdots \wedge dx_k)$$
Por definición del operador $d$ es igual a
$$\sum_{j=1}^{n}\int_{I^k}D_jfdx_j\wedge dx_1\wedge\cdots \wedge \hat{dx_i}\wedge\cdots \wedge dx_k$$
Si $j\neq i$ se van anulando los terminos ya que $\eta\wedge \eta=0$ por lo tanto solo queda
$$\int_{I^k}D_ifdx_i\wedge dx_1\wedge\cdots \wedge \hat{dx_i}\wedge\cdots \wedge dx_k$$
Si queremos llevar el $dx_i$ al lugar que le pertenece se tienen que hacer $i-1$ cambios y recordando que $dx_j\wedge dx_i=- dx_i\wedge dx_j$ nos queda simplemente que
$$(-1)^{i-1}\int_{I^k}D_i f dx_1\wedge\cdots \wedge dx_k=(-1)^{i-1} \int_{[0,1]^{k}}D_i f dx_1...dx_k$$
$$\int_{I^k}D_ifdx_i\wedge dx_1\wedge\cdots \wedge \hat{dx_i}\wedge\cdots \wedge dx_k$$
Si queremos llevar el $dx_i$ al lugar que le pertenece se tienen que hacer $i-1$ cambios y recordando que $dx_j\wedge dx_i=- dx_i\wedge dx_j$ nos queda simplemente que
$$(-1)^{i-1}\int_{I^k}D_i f dx_1\wedge\cdots \wedge dx_k=(-1)^{i-1} \int_{[0,1]^{k}}D_i f dx_1...dx_k$$
Como ahora estamos integrando en el rectángulo $[0,1]^k$ lo podemos interpretar como una integral múltiple sobre el intervalo $[0,1]$ de la siguiente manera
$$(-1)^{i-1}\int_0^{1}...\int_0^{1}D_i f dx_1...dx_k$$
Lo integramos con respecto a la i-ésima variable usando en teorema fundamental del calculo de una variable
$$(-1)^{i-1}\int_0^{1}...(\int_0^{1}D_i f dx_i)dx_1...\hat{dx_i}...dx_k=(-1)^{i-1}\int_0^{1}...\int_0^{1}[f(x_1,...,1,...x_k)-f(x_,....,0,...,x_k)]dx_1...\hat{dx_i}...dx_k$$
$$(-1)^{i-1}\int_0^{1}...\int_0^{1}D_i f dx_1...dx_k$$
Lo integramos con respecto a la i-ésima variable usando en teorema fundamental del calculo de una variable
$$(-1)^{i-1}\int_0^{1}...(\int_0^{1}D_i f dx_i)dx_1...\hat{dx_i}...dx_k=(-1)^{i-1}\int_0^{1}...\int_0^{1}[f(x_1,...,1,...x_k)-f(x_,....,0,...,x_k)]dx_1...\hat{dx_i}...dx_k$$
Ahora quedan k-1 integrales pero la función es constante respecto a $x_i$ por lo tanto si incluimos $dx_i$ se esta integrando sobre el rectángulo $[0,1]^k$, es decir
$$(-1)^{i-1}\int_{[0,1]^k}[f(x_1,...,1,...x_k)dx_1...dx_k+(-1)^{i}\int_{[0,1]^k}[f(x_1,...,0,...x_k)dx_1...dx_k$$
Por lo tanto son iguales ambos desarrollos y el teorema es valido en el dado por k-cubo $I^k$
$$\int_{I^{k}}d\omega=\int_{\partial I^k}\omega$$
$$(-1)^{i-1}\int_{[0,1]^k}[f(x_1,...,1,...x_k)dx_1...dx_k+(-1)^{i}\int_{[0,1]^k}[f(x_1,...,0,...x_k)dx_1...dx_k$$
Por lo tanto son iguales ambos desarrollos y el teorema es valido en el dado por k-cubo $I^k$
$$\int_{I^{k}}d\omega=\int_{\partial I^k}\omega$$
Volvemos a usar el hecho de que $\int_{c\circ \omega}\omega=\int_{\sigma}c^{*}\omega$. Si $c$ es un cubo en general entonces $$\int_{\partial I^k}c^{*} \omega = \int_{c\circ I^k}\omega$$
Podemos desarrollar $c\circ I^k$ para ver de que se trata, es muy sencillo
$$c\circ I^k=\sum_{i=1}^{k}\sum_{\alpha=0,1} c\circ I^k_{(i,\alpha)}=\sum_{i=1}^{k}\sum_{\alpha=0,1} c_{(i,\alpha)}=\partial c$$
Entonces $$\int_{\partial c}\omega=\int_{\partial I^k}c^{*}\omega$$
Por lo tanto con lo demostrado ya es suficiente para mostrar que
$$\int_{\partial c}\omega=\int_{\partial I^k}c^{*}\omega=\int_{I^k}d(c^{*}\omega)=\int_{I^k}c^{*}d(\omega)=\int_{c}d\omega$$
Por lo tanto ya lo hemos demostrado para un k-cubo $c$ cualesquiera, por ultimo si $c$ es una k-cadena de la forma $c=\sum_{i=1}^{m}a_ic_i$ solo los separamos en k-cubos:
$$\int_{c}d\omega =\sum_{i=1}^{m}a_i\int_{c_i}d\omega =\sum_{i=1}^{m}a_i\int_{\partial c_i}\omega=\int_{\partial c}\omega$$
Eso demuestra el teorema. $ \Box$
Puede ser que por los términos usados y nuevas definiciones el teorema no te parezca conocido, pero puede ser que ya lo hayas visto de otras manera en el calculo vectorial.
Ejemplo 1 (Teorema fundamental del calculo)
Si $f$ es continua sobre $[a,b]$ entonces
$$\int_{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a)$$
Para mostrarlo primero recordemos que una 0-forma es un campo escalar en este caso $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$. Y lo integramos sobre el 1-cubo $c:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $c(x)=x(b-a)+a$ cuya frontera es el 0-cubo $\partial c=c(1)-c(0)=b-a$ en virtud del teorema:
$$\int_{a}^{b}f'(x)dx=\int_c df =\int_{\partial c}f=\int_{b-a}f=f(b)-f(a)$$
Ejemplo 2 (Teorema de Green)
Sea $R\subset \mathbb{R}^2$, y supongamos que $P,Q:R\rightarrow \mathbb{R}$ son diferenciables entonces
Entonces $$\int_{\partial c}\omega=\int_{\partial I^k}c^{*}\omega$$
Por lo tanto con lo demostrado ya es suficiente para mostrar que
$$\int_{\partial c}\omega=\int_{\partial I^k}c^{*}\omega=\int_{I^k}d(c^{*}\omega)=\int_{I^k}c^{*}d(\omega)=\int_{c}d\omega$$
Por lo tanto ya lo hemos demostrado para un k-cubo $c$ cualesquiera, por ultimo si $c$ es una k-cadena de la forma $c=\sum_{i=1}^{m}a_ic_i$ solo los separamos en k-cubos:
$$\int_{c}d\omega =\sum_{i=1}^{m}a_i\int_{c_i}d\omega =\sum_{i=1}^{m}a_i\int_{\partial c_i}\omega=\int_{\partial c}\omega$$
Eso demuestra el teorema. $ \Box$
Puede ser que por los términos usados y nuevas definiciones el teorema no te parezca conocido, pero puede ser que ya lo hayas visto de otras manera en el calculo vectorial.
Ejemplo 1 (Teorema fundamental del calculo)
Si $f$ es continua sobre $[a,b]$ entonces
$$\int_{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a)$$
Para mostrarlo primero recordemos que una 0-forma es un campo escalar en este caso $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$. Y lo integramos sobre el 1-cubo $c:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $c(x)=x(b-a)+a$ cuya frontera es el 0-cubo $\partial c=c(1)-c(0)=b-a$ en virtud del teorema:
$$\int_{a}^{b}f'(x)dx=\int_c df =\int_{\partial c}f=\int_{b-a}f=f(b)-f(a)$$
Ejemplo 2 (Teorema de Green)
Sea $R\subset \mathbb{R}^2$, y supongamos que $P,Q:R\rightarrow \mathbb{R}$ son diferenciables entonces
$$\int_{\partial R}Pdx+Qdy=\underset { R}{\int\int} \left( \frac{\partial Q}{\partial x}- \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy$$
Esta ves es directamente aplicando el teorema
$$\int_{\partial R}Pdx+Qdy=\int_{R}d(Pdx+Qdy)=\int_{R}\frac{\partial Q}{\partial x}dx\wedge dy+ \frac{\partial P}{\partial y}dy\wedge dx =\int_{R}\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\wedge dy=\underset { R}{\int\int} \left( \frac{\partial Q}{\partial x}- \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy$$
Para los siguientes ejemplos consideramos el isomorfismo (Ver Formas Diferenciales)
entre espacios vectoriales y escalares con el espacio de las formas.
Si $F$ es un campo vectorial de $\mathbb{R}^3$ se definen 2 isomorfismos primero con una 1-forma
$$F=(F_1,F_2,F_3)\cong F_1dx+F_2dy+F_3dz=\omega_{F}^{1}$$
y con una 2-forma
$$F=(F_1,F_2,F_3)\cong F_1 dy\wedge dz-F_2dx\wedge dz +F_3 dx\wedge dy=\omega_{F}^{2}$$
Y sus diferenciales son
$$d\omega_{F}^{1}=(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z})dy\wedge dz+(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x})dx\wedge dz+(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y})dx\wedge dy=\omega_{rot F}^{2}\cong rotF=\nabla \times F$$
y
$$d\omega_{F}^{2}=(\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z})dx\wedge dy\wedge dz=\omega _{divF}^3\cong divF=\left< \nabla, F \right> $$
Ejemplo 3 (Teorema de divergencia)
Sea $S\subset \mathbb{R}^3$ entonces
$$\underset { S}{\int \int \int } \left< \nabla, F \right>dxdydz=\underset{\partial S}{\int\int}FdS$$
Con los isormorfismos vemos que
$$\underset{\partial S}{\int\int}FdS=\int_{\partial S}\omega_{F}^{2}=\int_{S}d\omega_{F}^{2}=\underset { S}{\int \int \int } \left< \nabla, F \right>dxdydz$$
Ejemplo 4 (Teorema clásico de Stokes)
Sea $S\subset \mathbb{R}^3$ entonces
$$\underset { S}{ \int \int }\nabla \times FdS= \int_{\partial S}Fds$$
Igual, solo desarrollamos
$$ \int_{\partial S}Fds= \int_{\partial S}\omega_{F}^1=\int_{S}d\omega_{F}^1=\underset { S}{ \int \int }\nabla \times FdS$$
Gracias por su visita.
Esta ves es directamente aplicando el teorema
$$\int_{\partial R}Pdx+Qdy=\int_{R}d(Pdx+Qdy)=\int_{R}\frac{\partial Q}{\partial x}dx\wedge dy+ \frac{\partial P}{\partial y}dy\wedge dx =\int_{R}\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\wedge dy=\underset { R}{\int\int} \left( \frac{\partial Q}{\partial x}- \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy$$
Para los siguientes ejemplos consideramos el isomorfismo (Ver Formas Diferenciales)
entre espacios vectoriales y escalares con el espacio de las formas.
Si $F$ es un campo vectorial de $\mathbb{R}^3$ se definen 2 isomorfismos primero con una 1-forma
$$F=(F_1,F_2,F_3)\cong F_1dx+F_2dy+F_3dz=\omega_{F}^{1}$$
y con una 2-forma
$$F=(F_1,F_2,F_3)\cong F_1 dy\wedge dz-F_2dx\wedge dz +F_3 dx\wedge dy=\omega_{F}^{2}$$
Y sus diferenciales son
$$d\omega_{F}^{1}=(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z})dy\wedge dz+(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x})dx\wedge dz+(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y})dx\wedge dy=\omega_{rot F}^{2}\cong rotF=\nabla \times F$$
y
$$d\omega_{F}^{2}=(\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z})dx\wedge dy\wedge dz=\omega _{divF}^3\cong divF=\left< \nabla, F \right> $$
Ejemplo 3 (Teorema de divergencia)
Sea $S\subset \mathbb{R}^3$ entonces
$$\underset { S}{\int \int \int } \left< \nabla, F \right>dxdydz=\underset{\partial S}{\int\int}FdS$$
Con los isormorfismos vemos que
$$\underset{\partial S}{\int\int}FdS=\int_{\partial S}\omega_{F}^{2}=\int_{S}d\omega_{F}^{2}=\underset { S}{\int \int \int } \left< \nabla, F \right>dxdydz$$
Ejemplo 4 (Teorema clásico de Stokes)
Sea $S\subset \mathbb{R}^3$ entonces
$$\underset { S}{ \int \int }\nabla \times FdS= \int_{\partial S}Fds$$
Igual, solo desarrollamos
$$ \int_{\partial S}Fds= \int_{\partial S}\omega_{F}^1=\int_{S}d\omega_{F}^1=\underset { S}{ \int \int }\nabla \times FdS$$
Gracias por su visita.
REFERENCIAS
$(1)$ Michael Spivak. (1988). Cálculo en variedades. Barcelona, España: Reverté (https://drive.google.com/open?id=0B89UX5GhyB83RGl1V3k3ZVJURHM)
$(2)$ David Bachman (2003), A Geometric Approach to Differential Forms http://www.math.ust.hk/~mamyan/ma4033/Bachman.pdf
$(3)$ James R. Munkres. (1991). Analysis on Manifolds. USA: Addison-Wesley (https://drive.google.com/open?id=0B89UX5GhyB83SFJRVXdWbHhjRzA)
$(1)$ Michael Spivak. (1988). Cálculo en variedades. Barcelona, España: Reverté (https://drive.google.com/open?id=0B89UX5GhyB83RGl1V3k3ZVJURHM)
$(2)$ David Bachman (2003), A Geometric Approach to Differential Forms http://www.math.ust.hk/~mamyan/ma4033/Bachman.pdf
$(3)$ James R. Munkres. (1991). Analysis on Manifolds. USA: Addison-Wesley (https://drive.google.com/open?id=0B89UX5GhyB83SFJRVXdWbHhjRzA)
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