Sea ${ l }_{ p }=\{ { a }_{ n }|\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left| { a }_{ n } \right| }^{ p } } <\infty \} $ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ también ${ l }_{ \infty }=\{ { a }_{ n }|sup\{ { a }_{ n }\} <\infty \} $
Estos son subespacios vectoriales del espacio de todas las sucesiones.
Ahora definimos la norma del espacio ${l}_{p}$, sea $x\in{l}_{p}$
$$NORMA\quad EN\quad { l }_{ p }\\ { \left\| x \right\| }_{ p }={ \left( \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left| { x }_{ n } \right| }^{ p } } \right) }^{ \frac { 1 }{ p } }$$
Para demostrarlo tenemos que considerar las características de un espacio normado y demostrarlo.$Sea\quad X\quad un\quad espacio\quad vectorial\quad sobre\quad \mathbb{R},\quad decimos\quad que\\ N:X\rightarrow \mathbb{R}\quad es\quad una\quad norma\quad si\quad a,b\in X\quad y\quad \alpha \in \mathbb{R}\quad entonces\\ 1)\quad N(a)\ge 0\quad y\quad N(a)=0\quad \Leftrightarrow \quad a=0\\ 2)\quad N(\alpha a)=\left| \alpha \right| N(a)\\ 3)\quad N(a+b)\le N(a)+N(b)$
Entonces la demostración se dividirá en 3 partes siendo la tercera la cuestión mas complicada, para saber que ${l}_{p}$ es un espacio vectorial solo tendríamos que probar cada propiedad de espacio vectorial, pero eso no lo probaremos.
DEMOSTRACIÓN
1) Sabemos que para todo $a\in\mathbb{R}$ se cumple que $\sqrt [ n ]{ a } \ge 0$ y la igualdad se cumple si solo si $a=0$ como las sucesiones son tiene su imagen en los números reales entonces ${ \left\| x \right\| }_{ p }\ge 0$ la igualdad se comprueba solo cuando todos los elementos de la sucesion son iguales a 0 entonces ${ \left\| x \right\| }_{ p }=0\quad \Leftrightarrow \quad x=0$
2) ${ \left\| \alpha { x } \right\| }_{ p }={ \left( \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left| \alpha { x }_{ n } \right| }^{ p } } \right) }^{ \frac { 1 }{ p } }={ \left( { \left| \alpha \right| }^{ p }\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left| { x }_{ n } \right| }^{ p } } \right) }^{ \frac { 1 }{ p } }=\left| \alpha \right| { \left( \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left| { x }_{ n } \right| }^{ p } } \right) }^{ \frac { 1 }{ p } }={ \left| \alpha \right| \left\| { x } \right\| }_{ p }$ por lo tanto cumple la propiedad.
3) Tenemos que ${ \left\| { x }_{ n }+{ y }_{ n } \right\| }_{ p }^{ p }=\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left| { x }_{ n }+{ y }_{ n } \right| }^{ p } } =\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left| { x }_{ n }+y \right| }^{ p-1 }\left| { x }_{ n }+{ y }_{ n } \right| } $ podemos usar la desigualdad del triangulo para números reales y obtenemos:
$$\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left| { x }_{ n }+y_{ n } \right| }^{ p-1 }\left| { x }_{ n }+y_{ n } \right| } \le \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left| { x }_{ n }+y_{ n } \right| }^{ p-1 }\left| { x }_{ n } \right| } +\sum _{ }^{ }{ { \left| { x }_{ n }+y_{ n } \right| }^{ p-1 }\left| y_{ n } \right| } $$
Ahora observemos que las nuevas sucesiones elevadas a $p-1$ se tiene que $ \left\{ { { \left| { x }_{ n }+{ y }_{ n } \right| }^{ p } } \right\} \in { l }_{ \frac { p }{ p-1 } }$ debido a que $\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left( { \left| { x }_{ n }+y_{ n } \right| }^{ p-1 } \right) }^{ \frac { p }{ p-1 } }<\infty } $ utilizando de una manera adecuada la desigualdad de Hölder anteriormente demostrada tenemos que: $$\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left| { x }_{ n }+y_{ n } \right| }^{ p-1 }\left| { x }_{ n } \right| } +\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left| { x }_{ n }+y_{ n } \right| }^{ p-1 }\left| y_{ n } \right| } \le { \left\| \left\{ { \left| { x }+y \right| }^{ p-1 } \right\} \right\| }_{ \frac { p }{ p-1 } }{ \left\| { x } \right\| }_{ p }+{ \left\| \left\{ { \left| { x }+y \right| }^{ p-1 } \right\} \right\| }_{ \frac { p }{ p-1 } }{ \left\| y \right\| }_{ p }$$
Para simplificar esa expresión debemos recordar que: $${ \left\| \left\{ { \left| { x }+{ y } \right| }^{ p-1 } \right\} \right\| }_{ \frac { p }{ p-1 } }={ \left[ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left( { \left| { x }_{ n }+{ y }_{ n } \right| }^{ p-1 } \right) }^{ \frac { p }{ p-1 } } } \right] }^{ \frac { 1 }{ \frac { p }{ p-1 } } }={ \left[ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left| { x }+{ y } \right| }^{ p } } \right] }^{ \frac { p-1 }{ p } }={ \left\| { x }+{ y } \right\| }_{ p }^{ p-1 }$$ Ahora regresando a los primeros términos llegamos a la conclusión de que $${ \left\| x+y \right\| }_{ p }^{ p }\le { \left\| x+y \right\| }_{ p }^{ p-1 }{ \left\| x \right\| }_{ p }+{ \left\| x+y \right\| }_{ p }^{ p-1 }{ \left\| y \right\| }_{ p }$$ esto lo podemos dividir por ${ \left\| x+y \right\| }_{ p }^{ p-1 }$ y con eso finalmente se tiene la desigualdad deseada: $${ \left\| x+y \right\| }_{ p }\le { \left\| x \right\| }_{ p }+{ \left\| y \right\| }_{ p }\quad{}_{\Box}$$
Ahora definamos la norma ${l}_{\infty}$
$$NORMA\quad { l }_{ \infty }\\ { \left\| x \right\| }_{ \infty }=sup\{ { \left\{ { x }_{ n } \right\} }_{ n\in \mathbb{N} }\} $$
DEMOSTRACIÓN
Para demostrarlo solo es necesario demostrar el siguiente limite:$${ \lim _{ p\rightarrow \infty }{ { \left\| x \right\| }_{ p } } }=sup\{ { \left\{ { x }_{ n } \right\} }_{ n\in N }\} $$
Supongamos que $\left| { x }_{ i } \right| =sup\{ { \left\{ { x }_{ n } \right\} }_{ n\in N }\} $ de la definición de norma p podemos hacer lo siguiente $${ \left\| x \right\| }_{ p }={ \left[ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left| { x }_{ n } \right| }^{ p } } \right] }^{ \frac { 1 }{ p } }=\left| { x }_{ i } \right| { \left[ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left| \frac { { x }_{ n } }{ { x }_{ i } } \right| }^{ p } } \right] }^{ \frac { 1 }{ p } }$$
Ahora notemos como son esos términos de la suma, $\forall n\neq i\quad \left| { x }_{ n } \right| <\left| { x }_{ n } \right| \quad \Rightarrow \left| \frac { { x }_{ n } }{ { x }_{ i } } \right| <1$ esto ya que ${x}_{i}$ es el supremo. Esto nos indica que ${ \left[ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left| \frac { { x }_{ n } }{ { x }_{ i } } \right| }^{ p } } \right] }^{ \frac { 1 }{ p } }\rightarrow 1\quad cuando\quad p\rightarrow \infty $ ahora concluimos que:
$${ \lim _{ p\rightarrow \infty }{ { \left\| x \right\| }_{ p } } }=\left| { x }_{ i } \right| =sup\{ { \left\{ { x }_{ n } \right\} }_{ n\in N }\} $$ Con las propiedades de limites comunes, es facil demostrar que la norma infinito cumple las propiedades de norma.
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