\neg (P\land Q)\Leftrightarrow (\neg P)\lor (\neg Q)\\ \neg (P\lor Q)\Leftrightarrow (\neg P)\land (\neg Q)
Suena demasiado obvio, en la teoria de conjuntos la negación de algo significa que es el conjunto complemento, de A seria {A}^{c} y el operador \land es la interseccion y \lor es la unión, de ello tenemos que:
LEYES\quad DE\quad DE \quad MORGAN\quad EN\quad CONJUNTOS\\ { (A\cup B })^{ c }={ A }^{ c }\cap { B }^{ c }\\ { (A\cap B) }^{ c }={ A }^{ c }\cup { B }^{ c }
Su demostración es de una manera sencilla, tomando elementos de cada igualdad.
DEMOSTRACIÓN
1){ (A\cup B })^{ c }={ A }^{ c }\cap { B }^{ c }
\Rightarrow ) Supongamos que x\in (A\cup { B })^{ c }\quad \rightarrow \quad x\notin A\cup { B }\quad de ahi sucede que x\notin A y x\notin B entonces deben estar en el complemento x\in {A}^{c} y x\in {B}^{c} esto implica que x\in { A }^{ c }\cap { B }^{ c }\quad \therefore { (A\cup B })^{ c }\subseteq { A }^{ c }\cap { B }^{ c }
\Leftarrow ) Supongamos que x\in { A }^{ c }\cap { B }^{ c }\quad \rightarrow \quad x\in { A }^{ c }\quad y\quad x\in { B }^{ c } lo que es lo mismo que de otra manera significa que x{ \notin A } y x\notin { B } entonces no esta en la unión x{ \notin A\cup B } esto implica que x\in { (A\cup B })^{ c }\quad \therefore \quad { (A\cup B })^{ c }\supseteq { A }^{ c }\cap { B }^{ c }
\therefore{ (A\cup B })^{ c }={ A }^{ c }\cap { B }^{ c }
2){ (A\cap B) }^{ c }={ A }^{ c }\cup { B }^{ c }
\Rightarrow ) Supongamos que x\in { (A\cap B) }^{ c }\quad \rightarrow \quad x\notin A\cap B esto significa que no esta en A o no esta en B lo que es igual a x\in { A }^{ c } o x\in { B }^{ c } implica que x\in { A }^{ c }\cup { B }^{ c }\quad \therefore { (A\cap B) }^{ c }\subseteq { A }^{ c }\cup { B }^{ c }
\Leftarrow ) Supongamos que x\in { A }^{ c }\cup { B }^{ c }\quad \rightarrow x\in { A }^{ c }\quad o\quad x\in { B }^{ c } lo que es igual a que debe estar en el complemento de A y el de B es igual a que x\notin A y x\notin B es la interseccion x\notin A\cap B\quad \rightarrow x\in { (A\cap B) }^{ c } por lo tanto { (A\cap B) }^{ c }\supseteq { A }^{ c }\cup { B }^{ c }
\therefore{ (A\cap B) }^{ c }={ A }^{ c }\cup { B }^{ c }
Esta misma lógica se puede utilizar para conjuntos no necesariamente contables de la siguiente manera.
Sea\quad \{ A_{ i }:\quad i\in I\} \quad con\quad I\neq \emptyset \quad una\quad familia\quad de\quad subconjutos\quad A_{ i }\subset X\quad entonces\\ 1)\quad \left( \bigcup _{ i\in I }^{ }{ A_{ i } } \right) ^{ c }=\bigcap _{ i\in I }^{ }{ { A_{ i } }^{ c } } \\ 2)\quad \left( \bigcap _{ i\in I }^{ }{ A_{ i } } \right) ^{ c }=\bigcup _{ i\in I }^{ }{ { A_{ i } }^{ c } }
La demostracion es muy similar al caso con dos conjuntos, solo hare la de la primer propiedad
DEMOSTACIÓN
\Rightarrow ) Si x\in\left( \bigcup _{ i\in I }^{ }{ A_{ i } } \right) ^{ c } quiere decir que x no esta en ningún {A}_{i}, es decir x\notin { A }_{ i }\quad \forall i\in I lo que indica que x\in { { A }_{ i } }^{ c }\quad \forall i\in I por lo tanto esta en la intersección x\in \bigcap _{ i\in I }^{ }{ { { A }_{ i } }^{ c } } por lo tanto \left( \bigcup _{ i\in I }^{ }{ A_{ i } } \right) ^{ c }\subseteq \bigcap _{ i\in I }^{ }{ { A_{ i } }^{ c } }
\Leftarrow ) Si x\in \bigcap _{ i\in I }^{ }{ { A_{ i } }^{ c } } esto implica que x\notin { A }_{ i }\quad \forall i\in I lo que es igual a que x\notin \bigcup _{ i\in I }^{ }{ A_{ i } } por lo tanto esta en el complemento x\in \left( \bigcup _{ i\in I }^{ }{ A_{ i } } \right) ^{ c } por lo tanto \left( \bigcup _{ i\in I }^{ }{ A_{ i } } \right) ^{ c }\supseteq \bigcap _{ i\in I }^{ }{ { A_{ i } }^{ c } }
\therefore\left( \bigcup _{ i\in I }^{ }{ A_{ i } } \right) ^{ c }= \bigcap _{ i\in I }^{ }{ { A_{ i } }^{ c } }
La demostracion de 2) es muy análoga a la parte 1) con uso de la segunda ley de De Morgan de 2 conjuntos.
Gracias por su visita.
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