$$\neg (P\land Q)\Leftrightarrow (\neg P)\lor (\neg Q)\\ \neg (P\lor Q)\Leftrightarrow (\neg P)\land (\neg Q)$$
Suena demasiado obvio, en la teoria de conjuntos la negación de algo significa que es el conjunto complemento, de $A$ seria ${A}^{c}$ y el operador $\land$ es la interseccion y $\lor $ es la unión, de ello tenemos que:
$$LEYES\quad DE\quad DE \quad MORGAN\quad EN\quad CONJUNTOS\\ { (A\cup B })^{ c }={ A }^{ c }\cap { B }^{ c }\\ { (A\cap B) }^{ c }={ A }^{ c }\cup { B }^{ c }$$
Su demostración es de una manera sencilla, tomando elementos de cada igualdad.
DEMOSTRACIÓN
1)${ (A\cup B })^{ c }={ A }^{ c }\cap { B }^{ c }$
$ \Rightarrow $) Supongamos que $x\in (A\cup { B })^{ c }\quad \rightarrow \quad x\notin A\cup { B }\quad $ de ahi sucede que $x\notin A$ y $x\notin B$ entonces deben estar en el complemento $x\in {A}^{c}$ y $x\in {B}^{c}$ esto implica que $x\in { A }^{ c }\cap { B }^{ c }\quad \therefore { (A\cup B })^{ c }\subseteq { A }^{ c }\cap { B }^{ c }$
$\Leftarrow$ ) Supongamos que $x\in { A }^{ c }\cap { B }^{ c }\quad \rightarrow \quad x\in { A }^{ c }\quad y\quad x\in { B }^{ c }$ lo que es lo mismo que de otra manera significa que $x{ \notin A }$ y $ x\notin { B }$ entonces no esta en la unión $x{ \notin A\cup B }$ esto implica que $x\in { (A\cup B })^{ c }\quad \therefore \quad { (A\cup B })^{ c }\supseteq { A }^{ c }\cap { B }^{ c }$
$$\therefore{ (A\cup B })^{ c }={ A }^{ c }\cap { B }^{ c }$$
2)${ (A\cap B) }^{ c }={ A }^{ c }\cup { B }^{ c }$
$ \Rightarrow $) Supongamos que $x\in { (A\cap B) }^{ c }\quad \rightarrow \quad x\notin A\cap B$ esto significa que no esta en $A$ o no esta en $B$ lo que es igual a $x\in { A }^{ c }$ o $x\in { B }^{ c }$ implica que $x\in { A }^{ c }\cup { B }^{ c }\quad \therefore { (A\cap B) }^{ c }\subseteq { A }^{ c }\cup { B }^{ c }$
$\Leftarrow$ ) Supongamos que $x\in { A }^{ c }\cup { B }^{ c }\quad \rightarrow x\in { A }^{ c }\quad o\quad x\in { B }^{ c }$ lo que es igual a que debe estar en el complemento de $A$ y el de $B$ es igual a que $x\notin A$ y $x\notin B$ es la interseccion $x\notin A\cap B\quad \rightarrow x\in { (A\cap B) }^{ c }$ por lo tanto ${ (A\cap B) }^{ c }\supseteq { A }^{ c }\cup { B }^{ c }$
$$\therefore{ (A\cap B) }^{ c }={ A }^{ c }\cup { B }^{ c }$$
Esta misma lógica se puede utilizar para conjuntos no necesariamente contables de la siguiente manera.
$$Sea\quad \{ A_{ i }:\quad i\in I\} \quad con\quad I\neq \emptyset \quad una\quad familia\quad de\quad subconjutos\quad A_{ i }\subset X\quad entonces\\ 1)\quad \left( \bigcup _{ i\in I }^{ }{ A_{ i } } \right) ^{ c }=\bigcap _{ i\in I }^{ }{ { A_{ i } }^{ c } } \\ 2)\quad \left( \bigcap _{ i\in I }^{ }{ A_{ i } } \right) ^{ c }=\bigcup _{ i\in I }^{ }{ { A_{ i } }^{ c } } $$
La demostracion es muy similar al caso con dos conjuntos, solo hare la de la primer propiedad
DEMOSTACIÓN
$ \Rightarrow $) Si $x\in\left( \bigcup _{ i\in I }^{ }{ A_{ i } } \right) ^{ c }$ quiere decir que $x$ no esta en ningún ${A}_{i}$, es decir $x\notin { A }_{ i }\quad \forall i\in I$ lo que indica que $x\in { { A }_{ i } }^{ c }\quad \forall i\in I$ por lo tanto esta en la intersección $x\in \bigcap _{ i\in I }^{ }{ { { A }_{ i } }^{ c } } $ por lo tanto $\left( \bigcup _{ i\in I }^{ }{ A_{ i } } \right) ^{ c }\subseteq \bigcap _{ i\in I }^{ }{ { A_{ i } }^{ c } } $
$\Leftarrow$ ) Si $x\in \bigcap _{ i\in I }^{ }{ { A_{ i } }^{ c } } $ esto implica que $x\notin { A }_{ i }\quad \forall i\in I$ lo que es igual a que $x\notin \bigcup _{ i\in I }^{ }{ A_{ i } } $ por lo tanto esta en el complemento $x\in \left( \bigcup _{ i\in I }^{ }{ A_{ i } } \right) ^{ c }$ por lo tanto $\left( \bigcup _{ i\in I }^{ }{ A_{ i } } \right) ^{ c }\supseteq \bigcap _{ i\in I }^{ }{ { A_{ i } }^{ c } } $
$$\therefore\left( \bigcup _{ i\in I }^{ }{ A_{ i } } \right) ^{ c }= \bigcap _{ i\in I }^{ }{ { A_{ i } }^{ c } } $$
La demostracion de 2) es muy análoga a la parte 1) con uso de la segunda ley de De Morgan de 2 conjuntos.
Gracias por su visita.
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