*Tiene cierta secuencia con las publicaciones anteriores (Álgebra multilineal y formas diferenciales)
En las ultimas dos publicaciones nos hemos esforzado en dar definiciones y propiedades de las k-formas que como bien decía son cosas que se pueden integrar, pero no hemos especificado sobre que "exótico" conjunto serán integrables, bueno la verdad no son tan exóticos, pero pueden complicarse los cálculos como siempre, al final conectaremos lo anterior con un teorema.
Definición: Sea $I=[0,1]$ un n-cubo en $A$ es una función diferenciable $c:[0,1]^{n}\rightarrow A$, el caso de un 0-cubo es simplemente una función de $c:\{0\}\rightarrow \mathbb{R}^n$, cuando denotamos el n-cubo $c$ no esta evaluado en un punto, por lo tanto lo tomamos como el conjunto $c$ (en realidad lo que hacemos es hablar de su imagen $c=Im(c)$
Definición: Una n-cadena es una combinación lineal (con coeficientes enteros) de n-cubos, es decir son de la forma $$c=\sum_{i=1}^{m}a_ici$$ donde $a_i \in \mathbb{Z}$ y los $c_i$ son n-cubos.
Algunos que puedo presentar son los siguientes:
$1)$ Sea $c:[0,1]\rightarrow A$ definida por $c(x)=cos(x)$ seria un 1-cubo
$2)$ Sea $c:[0,1]^2\rightarrow A$ definida por $c(x,y)=(xy,\frac{1}{x+1})$ es un 2-cubo
$3)$ Si definimos las funciones $c_1(r,\theta)=(rcos2\pi\theta,rsen2\pi\theta,\sqrt{1-r^2})$ y $c_2=(-rcos2\pi\theta,rsen2\pi\theta,-\sqrt{1-r^2})$ la 3-cadena $c_1+c_2$ es una esfera en $\mathbb{R}^3$
Notese que en el ultimo ejemplo no se toma una función en $[0,1]^3$, pero se puede hacer un mapeo para que la función este determinada en ese intervalo, de cualquier subconjunto compacto en $\mathbb{R}$ se puede mapear al intervalo $[0,1]$.
Entonces nuestras integrales de k-formas estarán definidas en k-cubos y para una cadena $c$ se define
$$\int_c \omega=\sum _{i=1}^{m}a_i\int_{c_i} \omega$$
Ahora definiremos el operador $\partial$ sobre cubos, que convertirá un n-cubo en un (n-1)-cubo (esto recuerda demasiado el operador $d$) definimos al operador como
$$\partial c=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}\left( c(x_1,...,x_{i-1},1,x_{i+1},...,x_n)-c(x_1,...,x_{i-1},0,x_{i+1},...,x_n)\right)$$
Ó si definimos las funciones $c_{(i,0)}=c(x_1,...,x_{i-1},1,x_{i+1},...,x_n)$ y $c_{(i,1)}=c(x_1,...,x_{i-1},0,x_{i+1},...,x_n)$ entonces se simplifica en $$\partial c=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=0,1}(-1)^{i+j}c_{(i,j)}$$
Lo que hace este operador es darnos como resultado la frontera del cubo para mostrarlo de una manera mas intuitiva supongamos que tenemos un 2-cubo $I^2:[0,1]^{2}\rightarrow A$ definido por $I^2(x,y)=(x,y)$, es un cuadrado con vértices $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$ y $(1,1)$ calculando su frontera tenemos que $$\partial I^{2}(x,y)=I^2(1,y)-I^2(0,y)-I^2(x,1)+I^2(x,0)=(1,y)-(0,y)-(x,1)+(x,0)$$
Que dan como resultado las 4 aristas del cuadrado. Un ejemplo mas interesante lo presento a continuación.
Sea un 2-cubo definido por $\varphi(r,\theta)=(rcos\pi\theta,rsen\pi\theta)$ entonces $\partial \varphi(r,\theta)=\varphi(1,\theta)-\varphi(0,\theta)-\varphi(r,1)\varphi (r,0)=(cos\pi\theta,sen\pi\theta)-(0,0)+(r,0)-(-r,0)$ el 2-cubo original es la mitad superior del circulo con origen en $(0,0)$ y la 1-cadena $\partial \varphi$ es el perimetro del semicirculo junto con su base.
La definición de cubo no habla de orientación pero esta puede inducir y es facil notar que para cambiar la orientación de un cubo solo basta con multiplicar por $-1$.
Para concluir presentaré una transformación que dará relación a las k-formas con los k-cubos sobre los que se esta integrando.
Si tenemos un campo vectorial diferenciable $f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m$ definimos la transformación lineal $f_{*}:\mathscr{T}_x(\mathbb{R}^n)\rightarrow \mathscr{T}_{f(x)}(\mathbb{R}^m)$ definida por $$f_{*}(x;v)=(f(x);f'(x;v))=(f(x);Df(x)\cdot v)$$
Esta transformación solo la ocuparemos para conectar entre espacios de n-formas, sea $f^{*}=\Lambda^{k}(\mathscr{T}_{f(x)}(\mathbb{R}^m))\rightarrow \Lambda^{k}(\mathscr{T}_x(\mathbb{R}^n))$ definida por $$f^{*}\omega(x)((x;v_1),...,(x;v_k))=\omega(f(x))(f_{*}(x;v_1),...,f_{*}(x;v_k))$$
La definición es nada intuitiva pero algunas propiedades pueden ser de ayuda.
$1)$ $f^{*}(\omega_1+\omega_2)=f^{*}(\omega_1)+f^{*}(\omega_2)$
$2)$ $f^{*}(g\omega)=(g\circ f)\cdot f^{*}\omega$
$3)$ $f^{*}(\omega \wedge \eta)=f^{*}\omega \wedge f^{*}\eta$
$4)$ $f^{*}(hdx_1\wedge...\wedge dx_n)=(h\circ f)(detf')dx_1\wedge...\wedge dx_n$
$5)$ $f^{*}(d\omega)=d(f^{*}\omega)$
$6)$ $f^{*}(dx_i)=df_i$
Solo son algunas, pero lo que queremos mostrar con esta transformación es de que si estamos integrando sobre un k-cubo $c(\sigma)$ definido en $[0,1]^k$ se puede afirmar la siguiente igualdad
$$\int_{c(\sigma)}\omega=\int_{\sigma}c^{*}\omega$$
Esto es facil mostrarlo si usamos el teorema de cambio de variable que afirma que $\int_{g(A)}f=\int_{A}(f\circ g)|det g'|$ y la propiedad $4)$.
Bibliografia:
-James R. Munkres. (1991). Analysis on Manifolds. USA: Addison-Wesley (https://drive.google.com/open?id=0B89UX5GhyB83SFJRVXdWbHhjRzA)
-Michael Spivak. (1988). Cálculo en variedades. Barcelona, España: Reverté (https://drive.google.com/open?id=0B89UX5GhyB83RGl1V3k3ZVJURHM)
-David Bachman (2003), A Geometric Approach to Differential Forms http://www.math.ust.hk/~mamyan/ma4033/Bachman.pdf
En las ultimas dos publicaciones nos hemos esforzado en dar definiciones y propiedades de las k-formas que como bien decía son cosas que se pueden integrar, pero no hemos especificado sobre que "exótico" conjunto serán integrables, bueno la verdad no son tan exóticos, pero pueden complicarse los cálculos como siempre, al final conectaremos lo anterior con un teorema.
Definición: Sea $I=[0,1]$ un n-cubo en $A$ es una función diferenciable $c:[0,1]^{n}\rightarrow A$, el caso de un 0-cubo es simplemente una función de $c:\{0\}\rightarrow \mathbb{R}^n$, cuando denotamos el n-cubo $c$ no esta evaluado en un punto, por lo tanto lo tomamos como el conjunto $c$ (en realidad lo que hacemos es hablar de su imagen $c=Im(c)$
Definición: Una n-cadena es una combinación lineal (con coeficientes enteros) de n-cubos, es decir son de la forma $$c=\sum_{i=1}^{m}a_ici$$ donde $a_i \in \mathbb{Z}$ y los $c_i$ son n-cubos.
Algunos que puedo presentar son los siguientes:
$1)$ Sea $c:[0,1]\rightarrow A$ definida por $c(x)=cos(x)$ seria un 1-cubo
$2)$ Sea $c:[0,1]^2\rightarrow A$ definida por $c(x,y)=(xy,\frac{1}{x+1})$ es un 2-cubo
$3)$ Si definimos las funciones $c_1(r,\theta)=(rcos2\pi\theta,rsen2\pi\theta,\sqrt{1-r^2})$ y $c_2=(-rcos2\pi\theta,rsen2\pi\theta,-\sqrt{1-r^2})$ la 3-cadena $c_1+c_2$ es una esfera en $\mathbb{R}^3$
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| Las caras de un n-cubo forman un (n+1)-cubo, en este caso son los cubos identidad $I^n$ |
Entonces nuestras integrales de k-formas estarán definidas en k-cubos y para una cadena $c$ se define
$$\int_c \omega=\sum _{i=1}^{m}a_i\int_{c_i} \omega$$
Ahora definiremos el operador $\partial$ sobre cubos, que convertirá un n-cubo en un (n-1)-cubo (esto recuerda demasiado el operador $d$) definimos al operador como
$$\partial c=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}\left( c(x_1,...,x_{i-1},1,x_{i+1},...,x_n)-c(x_1,...,x_{i-1},0,x_{i+1},...,x_n)\right)$$
Ó si definimos las funciones $c_{(i,0)}=c(x_1,...,x_{i-1},1,x_{i+1},...,x_n)$ y $c_{(i,1)}=c(x_1,...,x_{i-1},0,x_{i+1},...,x_n)$ entonces se simplifica en $$\partial c=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=0,1}(-1)^{i+j}c_{(i,j)}$$
Lo que hace este operador es darnos como resultado la frontera del cubo para mostrarlo de una manera mas intuitiva supongamos que tenemos un 2-cubo $I^2:[0,1]^{2}\rightarrow A$ definido por $I^2(x,y)=(x,y)$, es un cuadrado con vértices $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$ y $(1,1)$ calculando su frontera tenemos que $$\partial I^{2}(x,y)=I^2(1,y)-I^2(0,y)-I^2(x,1)+I^2(x,0)=(1,y)-(0,y)-(x,1)+(x,0)$$
Que dan como resultado las 4 aristas del cuadrado. Un ejemplo mas interesante lo presento a continuación.
Sea un 2-cubo definido por $\varphi(r,\theta)=(rcos\pi\theta,rsen\pi\theta)$ entonces $\partial \varphi(r,\theta)=\varphi(1,\theta)-\varphi(0,\theta)-\varphi(r,1)\varphi (r,0)=(cos\pi\theta,sen\pi\theta)-(0,0)+(r,0)-(-r,0)$ el 2-cubo original es la mitad superior del circulo con origen en $(0,0)$ y la 1-cadena $\partial \varphi$ es el perimetro del semicirculo junto con su base.
La definición de cubo no habla de orientación pero esta puede inducir y es facil notar que para cambiar la orientación de un cubo solo basta con multiplicar por $-1$.
Para concluir presentaré una transformación que dará relación a las k-formas con los k-cubos sobre los que se esta integrando.
Si tenemos un campo vectorial diferenciable $f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m$ definimos la transformación lineal $f_{*}:\mathscr{T}_x(\mathbb{R}^n)\rightarrow \mathscr{T}_{f(x)}(\mathbb{R}^m)$ definida por $$f_{*}(x;v)=(f(x);f'(x;v))=(f(x);Df(x)\cdot v)$$
Esta transformación solo la ocuparemos para conectar entre espacios de n-formas, sea $f^{*}=\Lambda^{k}(\mathscr{T}_{f(x)}(\mathbb{R}^m))\rightarrow \Lambda^{k}(\mathscr{T}_x(\mathbb{R}^n))$ definida por $$f^{*}\omega(x)((x;v_1),...,(x;v_k))=\omega(f(x))(f_{*}(x;v_1),...,f_{*}(x;v_k))$$
La definición es nada intuitiva pero algunas propiedades pueden ser de ayuda.
$1)$ $f^{*}(\omega_1+\omega_2)=f^{*}(\omega_1)+f^{*}(\omega_2)$
$2)$ $f^{*}(g\omega)=(g\circ f)\cdot f^{*}\omega$
$3)$ $f^{*}(\omega \wedge \eta)=f^{*}\omega \wedge f^{*}\eta$
$4)$ $f^{*}(hdx_1\wedge...\wedge dx_n)=(h\circ f)(detf')dx_1\wedge...\wedge dx_n$
$5)$ $f^{*}(d\omega)=d(f^{*}\omega)$
$6)$ $f^{*}(dx_i)=df_i$
Solo son algunas, pero lo que queremos mostrar con esta transformación es de que si estamos integrando sobre un k-cubo $c(\sigma)$ definido en $[0,1]^k$ se puede afirmar la siguiente igualdad
$$\int_{c(\sigma)}\omega=\int_{\sigma}c^{*}\omega$$
Esto es facil mostrarlo si usamos el teorema de cambio de variable que afirma que $\int_{g(A)}f=\int_{A}(f\circ g)|det g'|$ y la propiedad $4)$.
Bibliografia:
-James R. Munkres. (1991). Analysis on Manifolds. USA: Addison-Wesley (https://drive.google.com/open?id=0B89UX5GhyB83SFJRVXdWbHhjRzA)
-Michael Spivak. (1988). Cálculo en variedades. Barcelona, España: Reverté (https://drive.google.com/open?id=0B89UX5GhyB83RGl1V3k3ZVJURHM)
-David Bachman (2003), A Geometric Approach to Differential Forms http://www.math.ust.hk/~mamyan/ma4033/Bachman.pdf
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