Todas las funciones continuas son integrables, pero eso no significa que tengan función primitiva que al derivar se obtenga la original, de hecho hay una inmensidad de funciones sin primitivas, haciendo uso de teoremas simples y la función a integrar se puede hacer un estudio para saber de que manera se comportaría la primitiva, en esta ocasión vamos a analizar el siguiente caso:
Demostrar que:
$$ \int^{x}_{0}\frac{sen(t)}{t+1}dt >0 \quad \forall x>0 $$
Se hará uso de teoremas sencillos que su demostración es directa, se escogió esta función debido a que es periódica la vuelve un caso mas interesante.
Si analizamos la gráfica notamos que esta función posee tanto partes positivas como negativas
DEMOSTRACIÓN
Notemos que $\frac{sent}{t+1}=0$ si $t=n\pi$ para todo $n\in\mathbb{N}$ y que
$$\frac { sent }{ t+1 } >0\quad \Leftrightarrow \quad \{ t\in { x|n\pi <x<(n+1)\pi ;n\quad par }\} $$
$$\frac { sent }{ t+1 } >0\quad \Leftrightarrow \quad \{ t\in { x|n\pi <x<(n+1)\pi ;n\quad impar }\} $$
$$\frac { sent }{ t+1 } >0\quad \Leftrightarrow \quad \{ t\in { x|n\pi <x<(n+1)\pi ;n\quad par }\} $$
$$\frac { sent }{ t+1 } >0\quad \Leftrightarrow \quad \{ t\in { x|n\pi <x<(n+1)\pi ;n\quad impar }\} $$
Como el seno esta acotado por el $1$ y el $-1$ por lo tanto podemos establecer la siguiente desigualdad
$$-\frac { 1 }{ t+1 } \le \frac { sent }{ t+1 } \le \frac { 1 }{ t+1 } $$
y de ahí obtenemos el siguiente limite con el teorema del sándwich
$$ \pm \lim _{ t\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ t+1 } } =0\quad \Rightarrow \quad \lim _{ t\rightarrow \infty }{ \frac { sent }{ t+1 } } =0$$
Podemos dividir la integral en sus periodos, consideremos las siguientes sumas
$$\alpha =\int _{ 0 }^{ \pi }{ \frac { sent }{ t+1 } dt } +\int _{ 2\pi }^{ 3\pi }{ \frac { sent }{ t+1 } dt } +...+\int _{ n\pi }^{ x }{ \frac { sent }{ t+1 } dt } \\ \Omega =\left| \int _{ \pi }^{ 2\pi }{ \frac { sent }{ t+1 } dt } \right| +\left| \int _{ 3\pi }^{ 4\pi }{ \frac { sent }{ t+1 } dt } \right| +...+\left| \int _{ (n-1)\pi }^{ n\pi }{ \frac { sent }{ t+1 } dt } \right| $$
Donde $n=\left\lfloor x \right\rfloor $ y el ultimo termino de la suma depende si $n$ es par o impar
$$\alpha =\int _{ 0 }^{ \pi }{ \frac { sent }{ t+1 } dt } +\int _{ 2\pi }^{ 3\pi }{ \frac { sent }{ t+1 } dt } +...+\int _{ n\pi }^{ x }{ \frac { sent }{ t+1 } dt } \\ \Omega =\left| \int _{ \pi }^{ 2\pi }{ \frac { sent }{ t+1 } dt } \right| +\left| \int _{ 3\pi }^{ 4\pi }{ \frac { sent }{ t+1 } dt } \right| +...+\left| \int _{ (n-1)\pi }^{ n\pi }{ \frac { sent }{ t+1 } dt } \right| $$
Donde $n=\left\lfloor x \right\rfloor $ y el ultimo termino de la suma depende si $n$ es par o impar
Estas sumas también pueden representarse de la siguiente manera
$$\alpha=A_1+A_2+...+A_n$$
$$\Omega=a_1+a_2+...+a_n$$
Por lo que nuestra demostración depende ahora si $\alpha>|\Omega|$ y notemos que $\int^{x}_{0}\frac{sent}{t+1}dt=\alpha-\Omega$
Ahora se uso de el método de inducción matemática para poder demostrar lo siguiente:
$$A_n>a_n \quad \forall n\in\mathbb{N}$$
$$A_n=\int _{ n\pi }^{ (n+1)\pi }{ \frac { sent }{ t+1 } dt }; \quad a_n=\left| \int _{(n+1) \pi }^{ (n+2)\pi }{ \frac { sent }{ t+1 } dt } \right| $$
Notemos que el valor de la integral de la función seno en cada intervalo es igual, solo cambia el signo o lo que es lo mismo
$$\int _{ n\pi }^{(n+1) \pi }{ sentdt } =-\int _{ (n+1)\pi }^{ (n+2)\pi }{ sentdt } $$
Ahora notemos la siguiente propiedad del seno:
Para todo $x\in[n\pi,(n+1)\pi]$ existe $y\in[(n+1)\pi,(n+2)\pi]$ tal que $senx=-seny^{[1]}$, obviamente $x<y$ desarrollando tenemos que
$$x+1<y+1$$
$$\frac{1}{x+1}>\frac{1}{y+1}$$
Multiplicando por $senx$ y $-seny$
$$\frac{senx}{x+1}>-\frac{-seny}{y+1}$$
Como esto es valido para toda $x\in[n\pi,(n+1)\pi]$ y que tiene su reflejada $y\in[(n+1)\pi,(n+2)\pi]$ podemos concluir que $$\int _{ n\pi }^{(n+1) \pi }{ \frac { sent }{ t+1 } dt }>-\int _{ (n+1) \pi }^{ (n+2) \pi }{ \frac { sent }{ t+1 } dt }$$ pero como$-\int _{ (n+1) \pi }^{ (n+2) \pi }{ \frac { sent }{ t+1 } dt }>0$ simplemente
$$\int _{ n\pi }^{ (n+1)\pi }{ \frac { sent }{ t+1 } dt }>\left| \int _{ (n+1)\pi }^{ (n+2)\pi }{ \frac { sent }{ t+1 } dt } \right| $$
Por lo tanto $$A_n>a_n \quad \forall n\in\mathbb{N}$$
Suamando cada elemento resulta que $$\alpha>|\Omega|$$
$$\alpha-|\Omega|>0$$
Finalmente queda demostrado que $$ \int^{x}_{0}\frac{sen(t)}{t+1}dt >0 \quad \forall x>0 $$
De antemano les agradezco su visita a este blog. El cual esta creado por estudiantes para estudiantes con el fin de que nuestras aportaciones les sean de gran ayuda. Cualquier duda o comentario sobre esta o más publicaciones sera atendido y explicado de la mejor forma posible.
${[1]}$Este hecho esta demostrado en las notas extra
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