Funciones Beta, Gamma y de Error

FUNCIÓN GAMMA

Para cada real $t>0$ se define $\Gamma(t)$ mediante la integral impropia $$ \Gamma(t) = \int_0^\infty  x^{t-1} e^{-x}dx$$ Esta integral converge solo si $ t>0$ y diverge para $t\le0$. Si empezamos a resolver la integral por partes (la integral no tiene primitiva) nos conduce a la siguiente ecuación: $$\Gamma(t+1)=t\Gamma(t)$$De esto nos podemos seguir que $$\Gamma(t+2)=(t+1)\Gamma(t+1)=(t+1)t\Gamma(t)$$$$\Gamma(t+3)=(t+2)\Gamma(t+2)=(t+2)(t+1)t\Gamma(t)$$$$\vdots $$$$\Gamma(t+n)=(t+n-1)(t+n-2)...(t+1)t\Gamma(t)$$

Esta ultima para $n$ natural y se puede comprobar inductivamente. Podemos calcular en el 1 y obtenemos $\Gamma (1)=\int _{ 0 }^{ \infty  }{ { e }^{ -x }dx } =-{ e }^{ -\infty  }+{ e }^{ 0 }=1$ cuando ponemos en $t=1$ en $\Gamma(t+n)$ encontramos que $$\Gamma(n+1)=n!$$ Así, la funcion gamma es una extención de la función factorial a los números reales positivos (En calculo de variable compleja es posible extenderlo incluso a los números complejos). Podemos calcular los valores recursivamente de la siguiente formula $$\Gamma(t)=\frac{\Gamma(t+1)}{t}$$ En el segundo termino tiene sentido para $t+1>0$ y $t\neq0$ entonces podemos definir esta formula para $-1<t<0$ ahora así $t+2>0$ con $t\neq-1\neq0$ y asi ahora esta definido para $-2<t<-1$ podremos seguir inductivamente y llegara a que debe estar definida para $-n<t<-n+1$ esto nos quiere decir que esta defiida para valor de $t$ entre cada natural. Es decir esta definida para cualquier numero real no necesariamente natural. Se pueden calcular valores interesantes como$$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$$ $$\Gamma \left( \frac { 1 }{ 2 } +n \right) =\sqrt { \pi  } \left[{{n-\frac{1}{2}}\choose{n}}n! \right]$$ Estos valores son conocidos gracias a la integral de Gauss, tenemos definiciones alternas, que no seran de mucha utilidad pero se pueden comprobar las propiedades basicas $$\Gamma (t)=\lim _{ n\to \infty  } \frac { n!^{ t } }{ t(t+1)\cdots (t+n) } =\frac { 1 }{ t } \prod _{ n=1 }^{ \infty  } \frac { \left( 1+\frac { 1 }{ n }  \right) ^{ t } }{ 1+\frac { t }{ n }  }$$$$\Gamma (t)=\frac { e^{ -\gamma t } }{ t } \prod _{ n=1 }^{ \infty  } \left( 1+\frac { t }{ n }  \right) ^{ -1 }e^{ \frac { t }{ n }  };\quad \gamma\approx  0.577216..$$

FUNCIÓN BETA

La función esta denotada para los reales $a>0$ $b>0$ como $$B(a,b)=\int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ a-1 }{ (1-x })^{ b-1 }dx } $$ No esta definida su integral es por eso que queda en términos de una la misma integral en el intervalo $(0,1)$ la función $f(x)={ x }^{ a-1 }{ (1-x })^{ b-1 }$ tiene una característica particular y es que $f(0)=0$ y $f(1)=0$. Haciendo cambios de variables simples en la integral podemos obtener facilemete que la funcion es conmutativa con sus elementos en donde se evalua $$B(a,b)=B(b,a)$$ Puede ponerse en funcion de la funcion gamma con algunas modificaciones algebraicas y propias de teoremas de calculo de integrales de la siguiente manera $$B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$ De esa igualdad puede heredar las propiedades vistas de la funcion gamma por ejemplo si tenemos n y m naturales obtenemos que $$B(n,m)=\frac{(n-1)!(m-1)!}{(n+m-1)!}$$ ahora si evaluamos en las coordenadas $(n-k+1,k+1)$ podemos relacionar la función beta con el coeficiente binómico $$B(n-k+1,k+1)=\frac{(n-k)!k!}{(n-1)!}=\frac{(n-k)!k!}{(n+1)!}=\frac{(n-k)!k!}{n!(n+1)}=\frac {1}{{{n}\choose{k}}(n+1)}$$ Esto solo para valores enteros de $n$ y $k$.

Se puede definir la función beta incompleta si la integral no es esta definida de $0$ a $1$ y la integramos en su lugar a un valor $x$ tenemos que $${B}_{x}(a,b)=\int _{ 0 }^{ x }{ { y }^{ a-1 }{ (1-y })^{ b-1 }dy }$$

FUNCIÓN DE ERROR

Se define de igual manera en términos de la integral de una función sin primitiva como$${erf}(x)=\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^x e^{-t^2}dt$$ Esta relacionada directamente con la función de distribución de una normal estándar $\Phi(.)$ de la siguiente manera $$\Phi (x) = \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}{erf} \left(x/ \sqrt{2}\right)$$ Precisamente recibe el nombre de función de error porque nos indica ela probabilidad de haya un error en calculo de la probabilidad en el intervalo $(-x,x)$.


Alguna de sus propiedades es que es par, es decir $erf(-x)=-erf(x)\quad \forall x\in R$, el calculo de valores de la función se hace de manera conveniente a partir de software especializado pero algunas formas de aproximar el valor es mediante polinomios de taylor $${erf}(x)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n! (2n+1)}$$