Topología de $\mathbb{R}^n$

El estudio del espacio vectorial $\mathbb{R}^n$ se puede hacer de una manera mas amplia adentrándonos en su topología y a partir de ahí se tienen características de un espacio topológico $(X,\tau)$   de  donde $X$ es un conjunto, y $\tau$ es una topologia para $X$ si cumple ciertas propiedades. En $\mathbb{R}^n$ nos es de ayuda cuando queremos definir funciones  de varias variables, nos permite hacer las definiciones un poco mas directas y estudiar mas a fondo propiedades de las funciones, entonces definamos:

$$ESPACIO\quad TOPOLÓGICO\\ Sea\quad X\quad un\quad conjunto\quad y\quad \tau \subseteq { 2 }^{ X }\quad decimos\quad que\quad \tau \quad es\quad una\quad topologia\quad para\quad X\quad si \\i)\quad \emptyset ,X\in \tau \\ ii)\quad Sea\quad \{ { x }_{ i }|i\in I\} \quad una\quad familia\quad de\quad \tau ,\quad entonces\quad \bigcup _{ i\in I }^{  }{ { x }_{ i } } \in \tau \\                                                        iii)\quad Sea\quad \{ { x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },..,{ x }_{ n }\} \quad una\quad familia\quad finita\quad de\quad \tau ,\quad entonces\quad \bigcap _{ i=1 }^{ n }{ { x }_{ i }\in \tau  } $$

Pero para poder definirla en $\mathbb{R}^n$ tomaremos a $\tau$ como conjuntos abiertos de $\mathbb{R}^n$ es decir $\tau =\{ A\subseteq \mathbb{R}^n|A\quad es\quad abierto\} $ solo basta definir lo que es un conjunto abierto, en las siguientes definiciones:

• $$Bola\quad abierta:\quad En\quad \mathbb{R}^n\quad definimos\quad bola\quad abierta\quad con\quad centro\quad en\quad x\in\mathbb{R}^n \quad y\quad radio\quad \varepsilon >0\quad como\\ B(x,\varepsilon )=\{ y\in \mathbb{R}^n |\left\| x-y \right\| <\varepsilon \} $$
• $$Punto\quad interior:\quad Sea\quad A\subseteq\mathbb{R}^n \quad y\quad x\in A\quad x\quad es\quad un\quad punto\quad interior\quad a\quad A\quad si\quad existe\quad \varepsilon >0\quad tal\quad que\\ B(x,\varepsilon )\subset A$$
• $$Interior\quad de\quad A:\quad Si\quad A\subseteq \mathbb{R}^n \quad definimos\quad el\quad interior\quad de\quad a\quad como\\ \mathring { A } =\{ x\in A|x\quad es\quad punto\quad interior\}$$
• $$Decimos\quad que\quad el\quad conjunto\quad A\subseteq\mathbb{R}^n \quad es\quad abierto\quad si\quad A=\mathring { A } $$

Con esto es suficiente para dar el siguiente teorema:

$$Teorema:\\ i)\quad \emptyset ,\mathbb{R}^n\quad son\quad abiertos\\ ii)\quad Sea\quad \{ { A }_{ i }|i\in I\} \quad una\quad familia\quad de\quad abiertos\quad entonces\quad \bigcup _{ i\in I }^{  }{ { A }_{ i } } \quad es\quad abierto\\ iii)\quad Sea\quad \{ { A }_{ 1 },{ A }_{ 2 },...,{ A }_{ n }\} \quad una\quad familia\quad finita\quad de\quad abiertos\quad entonces\quad \bigcap _{ i=1 }^{ n }{ { A }_{ i } } es\quad abierto$$

La demostración es sencilla siguiendo las definiciones:

DEMOSTRACIÓN

$i)$ Es  fácil notar que el interior de un conjunto esta contenido en si mismo, y como el conjunto vacio esta contenido en todos los conjuntos entonces $\emptyset =\mathring { \emptyset  } $ asi el vacio es abierto.

Para ver que  $\mathbb{R}^n$ es abierto veamos que para cualquier $\varepsilon>0$ se tiene que $ B(x,\varepsilon )\subset \mathbb{R}^n$ entonces $\mathbb{R}^n$ y $\emptyset$ son abiertos.

$ii)$ Sea  $x\in \bigcup _{ i\in I }^{  }{ { A }_{ i } }$ debe de existir $i\in I$ tal que $x\in {A}_{i}$ como ${A}_{i}$ es abierto entonces existe $\varepsilon >0$ tal que $B(x,\varepsilon )\subset {A}_{i}$ por lo tanto $B(x,\varepsilon )\subset \bigcup _{ i\in I }^{  }{ { A }_{ i } }$  de esta manera $\bigcup _{ i\in I }^{  }{ { A }_{ i } }$ es abierto.

$iii)$ Sea $x\in \bigcap _{ i=1 }^{ n }{ { A }_{ i } }$ entonces $x\in{A}_{i}$ para todo $i=1,2,..,n$ entonces eso quiere decir que existen $i$ $\varepsilon ' s$ mayores que 0 tales que $B(x,{\varepsilon}_{i} )\subset {A}_{i}$ de los cuales podemos seleccionar el menor sea $\varepsilon =min{ \{ { \varepsilon  }_{ 1 }, }{ \varepsilon  }_{ 2 },...,{ \varepsilon  }_{ n }\} $ de esa manera tenemos la bola mas pequeña centrada en $x$ tal que $B(x,\varepsilon )\subset B(x,{\varepsilon}_{i} )$ 

Asi $B(x,\varepsilon )\subset \bigcap _{ i=1 }^{ n }{ { A }_{ i } }$ entonces $x\in{A}_{i}$ por lo tanto es abierto.

Esto demuestra que $(\mathbb{R}^n,\tau)$ es una topología de donde se podra hacer un estudio mas amplio de propiedades topológicas.  

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