Modelo de interés simple y compuesto.

Para calcular el valor del dinero transcurrido cierto periodo de tiempo se establecen funciones de acumulación en función del tiempo (de ahí que el tiempo es dinero), se puede hacer de distintas maneras, puede se una función continua, pero tiene características 2 principales.
1) $a(0)=1$
2) $a(t)$ es creciente
Pero las funciones mas sencillas y comunes son las del modelo de interés simple y compuesto.
En el modelo de interés simple (MIS) se construye de una manera muy sencilla, solo es el valor inicial mas cierta tasa de interés multiplicada por cierta cantidad de tiempo:
$$*MODELO\quad DE\quad INTERES\quad SIMPLE\\ a(t)=1+it$$
Notese que es una recta creciente que siempre funciona de la misma manera a través de todo el plano, con una pendiente $i$.
Para la construcción de modelo de interés compuesto (MIC) basta con recapitalizar los intereses $t$ veces, con lo que obtenemos de manera inductiva que:
$$*MODELO\quad DE\quad INTERES\quad COMPUESTO\\ a(t)={ (1+i) }^{ t }$$
Es una función con crecimiento exponencial es fácil notar que su crecimiento a partir del 1 es mayor que el del MIS, pero antes del 1 es menor, por lo que doy la siguiente proposición.

$$Proposición:\quad Si\quad 0<i<1\quad entonces\\ i) \quad { (1+i) }^{ t }<1+it\quad si\quad 0<t<1\\ ii)\quad { (1+i) }^{ t }=1+it\quad si\quad t=1\\ iii)\quad { (1+i) }^{ t }>1+it\quad si\quad t>1\\ $$

Para la demostración de hará uso del calculo, aunque hay otros métodos.

DEMOSTRACIÓN

$i)$ Definimos las función $\varphi (x)=tx+(1-t)-{ x }^{ t }$ con $0<t<1$ donde nos interesa ver si $\varphi>0$, la propuesta de esta función es bastante intuitiva. Para ver que es mayor a $0$ usaremos el criterio de la segunda derivada, primero tenemos que $\varphi '(x)=t(1-{ x }^{ t })$ igualando a $0$ obtenemos la soluciones de que $\varphi '(1)=0$ calculando la segunda derivada $\varphi ''(x)=-t(t-1){ x }^{ t-2 }$ evaluando en $1$ tenemos $\varphi ''(1)=t-{ t }^{ 2 }$ como $0<t<1$ el cuadrado es mas pequeño que $t$ por lo que $t-{ t }^{ 2 }>0$ esto nos indica que $1$ es mínimo. Evaluando en ese punto $\varphi (1)=0$ con eso se demuestra que $\varphi$ es mayor a 0 $\varphi (x)=tx+(1-t)-{ x }^{ t }>0$ ahora si evaluamos es $(1+i)$
$$\varphi (1+i)=t(1+i)+(1-t)-{ (1+i) }^{ t }>0\\ -{ (1+i) }^{ t }>-t(1+i)-(1-t)\\ { (1+i) }^{ t }<t(1+i)+(1-t)=t+it+1-t\\ \therefore { (1+i) }^{ t }<1+it $$
$ii)$ Basta solo con evaluar en  ${(1+i)}^{1}=1+i(1)$.

$iii)$ Se define de una manera análoga $\varphi (x)=tx+(1-t)-{ x }^{ t }$ ahora con $t>1$ ahora veremos que $\varphi (x)<0$ esto es cierto ya que  $\varphi ''(1)=t-{ t }^{ 2 }$ ahora sera menor a 0 ya que como $t>1$ implica que  ${t}^{2}>t$ asi que $\varphi ''(1)<0$ por lo tanto 1 es máximo, esto implica que  $\varphi<0$ de ahi que evaluando en $(1+i)$
$$\varphi (1+i)=t(1+i)+(1-t)-{ (1+i) }^{ t }<0\\ -{ (1+i) }^{ t }<-t(1+i)-(1-t)\\ \therefore -{ (1+i) }^{ t }>1+it$$
De la función de acumulación se derivan una gran cantidad de otras de definiciones ya sea $d$ el descuento también visto como una tasa o $\nu$ para denotar una función inversa a la de acumulación. Una vez establecida una tasa de interés en cierto periodo entonces puede ser expresada en términos de una tasa nominal ${i}^{(m)}$ en un periodo de tiempo ya sea mayor o menor  de capitalización a partir de eso se puede hacer que  la el tiempo de capitalización $m$ tienda a infinito y obtener una tasa continua $\delta$ alguna de las igualdades mas importantes se muestran a continuación.
$$\nu ={ (1+i) }^{ -1\quad  },\quad d=\frac { i }{ 1+i } ,\quad (1+i)={ (1+\frac { { i }^{ (m) } }{ m } ) }^{ m }\\ a(t)={ (1+i) }^{ t }=\left( { 1+\frac { { i }^{ (m) } }{ m }  } \right) ^{ tm }={ { (1-d) }^{ -t } }=\left( { 1-\frac { d^{ (n) } }{ n }  } \right) ^{ tn }={ \nu  }^{ -1 }={ e }^{ t\delta  }$$
Gracias por su visita.