Integral de Gauss


Es más o menos intuitivo que  integrales del estilo \int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ f(x)dx } puedan calcularse en casos en las que las integrales ordinarias \int _{ a }^{ b }{ f(x)dx } no pueden ser calculadas, tal es el caso de \int _{ a }^{ b }{ { e }^{ { -x }^{ 2 } }dx } , se demostrará el valor que tiene dicha integral, escogí esta integral por su importancia y aparte la usare en un siguiente publicación, también por que el resultado es llamativo, ya que \pi vuelve a estar relacionado con e. Se puede resolver por varios métodos lo que haré sera cambiar de coordenadas rectangulares a polares.

\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ { -x }^{ 2 } }dx } =\sqrt { \pi }
Para hacer los cambios de variable se recordara la manera en la que se derivan funciones de varias variables (campos vectoriales) y se usara la matriz de jacobiana.
Lo que se usara sera un cambio de variable para integrales dobles:
\iint _{ S }^{  }{ f(x,y)dxdy } =\iint _{ T }^{  }{ f[X(u,v),Y(u,v)]\left| J(u,v) \right| dudv }
De donde este factor \left| J(u,v) \right| es igual al determinante de la derivada parcial de f[X(u,v),Y(u,v)]\ :
J(u,v)=\begin{vmatrix} \frac { \partial X }{ \partial u }  & \frac { \partial Y }{ \partial u }  \\ \frac { \partial X }{ \partial v }  & \frac { \partial Y }{ \partial v }  \end{vmatrix}

DEMOSTRACIÓN
Sea { S }^{ 2 }=\int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ { e }^{ -x^{ 2 } }dx } \int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ { e }^{ -y^{ 2 } }dy } como tienen diferente variable las podemos unir en una sola integral \int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ { \int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ { e }^{ -({ x }^{ 2 }+y^{ 2 }) }dx} dy } }
Cambiaremos a coordenadas polares, tenemos que f(x,y)={e}^{-({x}^{2}+{y}^{2})} nuestro cambio será x=rcos\theta, y=rsen\theta esto es X(r,\theta)=rcos\theta y Y(r,\theta)=rsen\theta donde r>0 y \theta variando de 0 a 2\pi el jocobiano de este cambio de variable sera: J(u,v)=\begin{vmatrix} \frac { \partial X }{ \partial r }  & \frac { \partial Y }{ \partial r }  \\ \frac { \partial X }{ \partial \theta  }  & \frac { \partial Y }{ \partial \theta  }  \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} cos\theta  & sen\theta  \\ -rsen\theta  & rcos\theta  \end{vmatrix}=(r\cos ^{ 2 }{ \theta  } +r\sin ^{ 2 }{ \theta  } )=r
Ya que  { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=({ r }^{ 2 }\cos ^{ 2 }{ \theta  } +{ r }^{ 2 }\sin ^{ 2 }{ \theta  } )={ r }^{ 2 } la integral queda como: \int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ { \int _{ 0 }^{ \infty  }{ { re }^{ -({ r }^{ 2 }) }dr } d\theta  } } 
Primero integraremos de manera normal con respecto a r, con un cambio de variable {r}^{2}=u \quad 2rdr=du se resuelve:
\int _{ 0 }^{ \infty  }{ { re }^{ -{ r }^{ 2 } }dr } =\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 0 }^{ \infty  }{ { e }^{ -u }du } ={ \left[ -\frac { { e }^{ -u } }{ 2 }  \right]  }_{ 0 }^{ \infty  }=-\frac { 0 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 }  
Ahora sustituyendo finalmente resolvemos:
\int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ { \frac { 1 }{ 2 } d\theta  } } ={ \left[ \frac { \theta  }{ 2 }  \right]  }_{ 0 }^{ 2\pi  }=\frac { 2\pi  }{ 2 } +\frac { 0 }{ 2 } =\pi
De esa manera {S}^{2}=\pi pero ahora notemos que S=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ { -x }^{ 2 } }dx } por lo tanto se concluye que:
S=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ { -x }^{ 2 } }dx } =\sqrt { \pi }

Este resultado es llamativo, ya que \pi esta relacionado con el área de un circulo y en este caso por un área delimitada por el eje x y la función {e}^{-{x}^{2}}. Mas adelante la usare para demostrar características de la función normal de densidad.

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