Es más o menos intuitivo que integrales del estilo \int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x)dx } puedan calcularse en casos en las que las integrales ordinarias \int _{ a }^{ b }{ f(x)dx } no pueden ser calculadas, tal es el caso de \int _{ a }^{ b }{ { e }^{ { -x }^{ 2 } }dx } , se demostrará el valor que tiene dicha integral, escogí esta integral por su importancia y aparte la usare en un siguiente publicación, también por que el resultado es llamativo, ya que \pi vuelve a estar relacionado con e. Se puede resolver por varios métodos lo que haré sera cambiar de coordenadas rectangulares a polares.
\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ { -x }^{ 2 } }dx } =\sqrt { \pi }
Para hacer los cambios de variable se recordara la manera en la que se derivan funciones de varias variables (campos vectoriales) y se usara la matriz de jacobiana.Lo que se usara sera un cambio de variable para integrales dobles:
\iint _{ S }^{ }{ f(x,y)dxdy } =\iint _{ T }^{ }{ f[X(u,v),Y(u,v)]\left| J(u,v) \right| dudv }
De donde este factor \left| J(u,v) \right| es igual al determinante de la derivada parcial de f[X(u,v),Y(u,v)]\ :
J(u,v)=\begin{vmatrix} \frac { \partial X }{ \partial u } & \frac { \partial Y }{ \partial u } \\ \frac { \partial X }{ \partial v } & \frac { \partial Y }{ \partial v } \end{vmatrix}
DEMOSTRACIÓN
Sea { S }^{ 2 }=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -x^{ 2 } }dx } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -y^{ 2 } }dy } como tienen diferente variable las podemos unir en una sola integral \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -({ x }^{ 2 }+y^{ 2 }) }dx} dy } } Cambiaremos a coordenadas polares, tenemos que f(x,y)={e}^{-({x}^{2}+{y}^{2})} nuestro cambio será x=rcos\theta, y=rsen\theta esto es X(r,\theta)=rcos\theta y Y(r,\theta)=rsen\theta donde r>0 y \theta variando de 0 a 2\pi el jocobiano de este cambio de variable sera: J(u,v)=\begin{vmatrix} \frac { \partial X }{ \partial r } & \frac { \partial Y }{ \partial r } \\ \frac { \partial X }{ \partial \theta } & \frac { \partial Y }{ \partial \theta } \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} cos\theta & sen\theta \\ -rsen\theta & rcos\theta \end{vmatrix}=(r\cos ^{ 2 }{ \theta } +r\sin ^{ 2 }{ \theta } )=r
Ya que { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=({ r }^{ 2 }\cos ^{ 2 }{ \theta } +{ r }^{ 2 }\sin ^{ 2 }{ \theta } )={ r }^{ 2 } la integral queda como: \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ { \int _{ 0 }^{ \infty }{ { re }^{ -({ r }^{ 2 }) }dr } d\theta } }
Primero integraremos de manera normal con respecto a r, con un cambio de variable {r}^{2}=u \quad 2rdr=du se resuelve:
\int _{ 0 }^{ \infty }{ { re }^{ -{ r }^{ 2 } }dr } =\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 0 }^{ \infty }{ { e }^{ -u }du } ={ \left[ -\frac { { e }^{ -u } }{ 2 } \right] }_{ 0 }^{ \infty }=-\frac { 0 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 }
Ahora sustituyendo finalmente resolvemos:
\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ { \frac { 1 }{ 2 } d\theta } } ={ \left[ \frac { \theta }{ 2 } \right] }_{ 0 }^{ 2\pi }=\frac { 2\pi }{ 2 } +\frac { 0 }{ 2 } =\pi
De esa manera {S}^{2}=\pi pero ahora notemos que S=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ { -x }^{ 2 } }dx } por lo tanto se concluye que:
S=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ { -x }^{ 2 } }dx } =\sqrt { \pi }
Este resultado es llamativo, ya que \pi esta relacionado con el área de un circulo y en este caso por un área delimitada por el eje x y la función {e}^{-{x}^{2}}. Mas adelante la usare para demostrar características de la función normal de densidad.
Gracias por su visita, espero sus comentarios.
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