$$F(t)=P(X\le t)=\int _{ -\infty }^{ t }{ f(u)du } $$.
Esto la probabilidad de que la variable aleatoria $X$ tome un valor en el intervalo $(-\infty,t)$, una de las distribuciones mas importantes es la normal ya que se adapta a una gran cantidad de variables aleatorias o se pueden aproximar, esto sucede en varias disciplinas, como la física, biología, el estudio de poblaciones, etc. Pero sobre todo nos sera de gran importancia en actuaría. La función de densidad esta definida por los parámetros $\sigma$ y $\mu$ que serán precisamente la varianza y la media respectivamente, se define como:
$${f}_{X}(x;\sigma ,\mu )=\frac { 1 }{ \sigma \sqrt { 2\pi } } { { e }^{ -\frac { 1 }{ 2 } { \left( { (x-\mu ) }/{ \sigma } \right) }^{ 2 } } } { I }_{ (-\infty ,\infty ) }(x)\quad \mu\in\mathbb{R}\quad {\sigma}^{2}>0$$
Esto la probabilidad de que la variable aleatoria $X$ tome un valor en el intervalo $(-\infty,t)$, una de las distribuciones mas importantes es la normal ya que se adapta a una gran cantidad de variables aleatorias o se pueden aproximar, esto sucede en varias disciplinas, como la física, biología, el estudio de poblaciones, etc. Pero sobre todo nos sera de gran importancia en actuaría. La función de densidad esta definida por los parámetros $\sigma$ y $\mu$ que serán precisamente la varianza y la media respectivamente, se define como:
$${f}_{X}(x;\sigma ,\mu )=\frac { 1 }{ \sigma \sqrt { 2\pi } } { { e }^{ -\frac { 1 }{ 2 } { \left( { (x-\mu ) }/{ \sigma } \right) }^{ 2 } } } { I }_{ (-\infty ,\infty ) }(x)\quad \mu\in\mathbb{R}\quad {\sigma}^{2}>0$$
La demostración de esta publicación constara presisamente de comprobar que $\sigma$ y $\mu$ son la varianza y la media respectivamente y que la función $f$ es efectivamente de densidad.
Una función de densidad se define como una función que cumple que:
$1)\quad f(x)\ge 0\quad $ para todo $x$
$2)\quad\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x)dx } =1$
La esperanza se define como:
${ \mu }_{ X }=E[x]=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ x{ f }_{ X }(x)dx } $
y la varianza como
${\sigma}^{2}_{X}=Var[x]=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { (x-{ \mu }_{ X }) }^{ 2 }{ f }_{ X }(x)dx } $
Una función de densidad se define como una función que cumple que:
$1)\quad f(x)\ge 0\quad $ para todo $x$
$2)\quad\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x)dx } =1$
La esperanza se define como:
${ \mu }_{ X }=E[x]=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ x{ f }_{ X }(x)dx } $
y la varianza como
${\sigma}^{2}_{X}=Var[x]=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { (x-{ \mu }_{ X }) }^{ 2 }{ f }_{ X }(x)dx } $
$$Dada\quad la\quad funcion\quad { f }_{ X }(x;\sigma ,\mu )=\frac { 1 }{ \sigma \sqrt { 2\pi } } { e }^{ -\frac { 1 }{ 2 } { \left( \frac { x-\mu }{ \sigma } \right) }^{ 2 } }\\ 1)\quad f\quad es\quad de\quad densidad\\ 2)\quad E[X]=\mu \\ 3)\quad Var[X]={ \sigma }^{ 2 }$$
DEMOSTRACIÓN
$1)$ Notese que la función es mayor a 0 ya que ${e}^{x}$ es mayor a $0$ para cualquier valor que pueda tomar $x$ por lo tanto $f>0$, para demostrar que el area por debajo de la curva es una calcularemos la intergral:
$$\frac { 1 }{ \sigma \sqrt { 2\pi } } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -\frac { 1 }{ 2 } { \left( { (x-\mu ) }/{ \sigma } \right) }^{ 2 } } }dx $$
Proponemos el cambio de variable $\left( \frac { x-\mu }{ \sigma \sqrt { 2 } } \right) =y$ y el diferencial queda como $\frac { 1 }{ \sigma \sqrt { 2 } }dx =dy$ sustituyendo se tiene que
$$\frac { \sigma \sqrt { 2 } }{ \sigma \sqrt { 2\pi } } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -\frac { 1 }{ 2 } { \left( \sqrt { 2 } u \right) }^{ 2 } } } dx=\frac { 1 }{ \sqrt { \pi } } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -{ y }^{ 2 } } } dy$$
ahora recordemos el valor de esa integral en particular, $\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -{ y }^{ 2 } } } dy=\sqrt { \pi } $ la demostracion de esa integral esta con todo detalle esta en este post anterior. Así entonces
$$\frac { 1 }{ \sqrt { \pi } } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -{ y }^{ 2 } } } dy=\frac { \sqrt { \pi } }{ \sqrt { \pi } } =1$$
Por lo tanto$\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(x) } dx=1$ lo que demuestra que $f$ es de densidad.
$2)$ Para demostar el valor de la esperanza $E[X]$ simplemente se calculara la integral de la definición,
$$E[X]=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ x{ e }^{ -\frac { 1 }{ 2 } { \left( { (x-\mu ) }/{ \sigma } \right) }^{ 2 } } } dx$$
Con el mismo cambio de variable de la demostración anterior obtenemos
$$E[x]=\frac { \sigma \sqrt { 2 } }{ \sigma \sqrt { 2\pi } } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ (\sqrt { 2 } \sigma y+\mu ){ e }^{ -{ y }^{ 2 } }dy } =\frac { 1 }{ \sqrt { \pi } } \left[ \int _{ -\infty }^{ \infty }{ (\sqrt { 2 } \sigma )y{ e }^{ -{ y }^{ 2 } }dy } +\mu \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -{ y }^{ 2 } }dy } \right] $$
Resolviendo primero la primera integral, por metodos sencillos (no dare todo detalle) tenemos que
$$(\sqrt { 2 } \sigma )\int _{ -\infty }^{ \infty }{ y{ e }^{ -{ y }^{ 2 } }dy } ={ \left[ -\frac { \sqrt { 2 } \sigma }{ 2 } { e }^{ -{ y }^{ 2 } } \right] }_{ -\infty }^{ \infty }=0$$
Entonces la esperanza solo depende de la segunda integral que vuelve a ser conocida en el ejemplo anterior.
$$E[X]=\frac { 1 }{ \sqrt { \pi } } \left[ \mu \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -{ y }^{ 2 } }dy } \right] =\frac { 1 }{ \sqrt { \pi } } \left[ \mu \sqrt { \pi } \right] =\mu $$
Con esto queda demostrado que $E[X]=\mu$
$3)$ Se procede de manera similar que el caso anterior solo con el comentario de que ahora ya se sabe que ${\mu}_{X}=\mu$
$$Var[X]=\frac { 1 }{ \sigma \sqrt { 2\pi } } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { \left( x-\mu \right) }^{ 2 }{ e }^{ -\frac { 1 }{ 2 } { \left( { (x-\mu ) }/{ \sigma } \right) }^{ 2 } } } dx$$
Volvemos a aplicar el mismo cambio de variable y tenemos que
$$Var[X]=\frac { 2\sqrt { 2 } { \sigma }^{ 3 } }{ \sigma \sqrt { 2\pi } } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { y }^{ 2 }{ e }^{ -y^{ 2 } } } dy=\frac { 2{ \sigma }^{ 2 } }{ \sqrt { \pi } } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { y }^{ 2 }{ e }^{ -y^{ 2 } } } dy$$
Esta ultima integral la resolvemos por partes para dejarla en términos de integrales que ya hayamos resuelto
$$\int { { y\cdot y }{ e }^{ -y^{ 2 } } } dy=y\left( -\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ -{ y }^{ 2 } } \right) -\int { -\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ -y^{ 2 } } } dy=y\left( -\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ -{ y }^{ 2 } } \right) +\frac { 1 }{ 2 } \int { { e }^{ -y^{ 2 } } } dy\\ \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { y }^{ 2 }{ e }^{ -{ y }^{ 2 } }dy } ={ \left[ y\left( -\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ -{ y }^{ 2 } } \right) \right] }_{ -\infty }^{ \infty }+\frac { 1 }{ 2 } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -{ y }^{ 2 } }dy } =0+\frac { \sqrt { \pi } }{ 2 } $$
De esa manera concluimos que
$$Var[X]=\frac { 2{ \sigma }^{ 2 } }{ \sqrt { \pi } } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { y }^{ 2 }{ e }^{ -y^{ 2 } } } dy=\frac { 2{ \sigma }^{ 2 }\sqrt { \pi } }{ 2\sqrt { \pi } } ={ \sigma }^{ 2 }$$
Con esto queda demostrado.
Por lo visto las demostraciones de estas propiedades no son sencillas, pero su significado es importante, ya que los parámetros son a su vez la varianza y la esperanza por lo que es facil aproximar una variable aleatoria a la distribución normal, que finalmente la definimos como:
Volvemos a aplicar el mismo cambio de variable y tenemos que
$$Var[X]=\frac { 2\sqrt { 2 } { \sigma }^{ 3 } }{ \sigma \sqrt { 2\pi } } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { y }^{ 2 }{ e }^{ -y^{ 2 } } } dy=\frac { 2{ \sigma }^{ 2 } }{ \sqrt { \pi } } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { y }^{ 2 }{ e }^{ -y^{ 2 } } } dy$$
Esta ultima integral la resolvemos por partes para dejarla en términos de integrales que ya hayamos resuelto
$$\int { { y\cdot y }{ e }^{ -y^{ 2 } } } dy=y\left( -\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ -{ y }^{ 2 } } \right) -\int { -\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ -y^{ 2 } } } dy=y\left( -\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ -{ y }^{ 2 } } \right) +\frac { 1 }{ 2 } \int { { e }^{ -y^{ 2 } } } dy\\ \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { y }^{ 2 }{ e }^{ -{ y }^{ 2 } }dy } ={ \left[ y\left( -\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ -{ y }^{ 2 } } \right) \right] }_{ -\infty }^{ \infty }+\frac { 1 }{ 2 } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -{ y }^{ 2 } }dy } =0+\frac { \sqrt { \pi } }{ 2 } $$
De esa manera concluimos que
$$Var[X]=\frac { 2{ \sigma }^{ 2 } }{ \sqrt { \pi } } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { y }^{ 2 }{ e }^{ -y^{ 2 } } } dy=\frac { 2{ \sigma }^{ 2 }\sqrt { \pi } }{ 2\sqrt { \pi } } ={ \sigma }^{ 2 }$$
Con esto queda demostrado.
Por lo visto las demostraciones de estas propiedades no son sencillas, pero su significado es importante, ya que los parámetros son a su vez la varianza y la esperanza por lo que es facil aproximar una variable aleatoria a la distribución normal, que finalmente la definimos como:
$${ F }_{ X }(x)=\frac { 1 }{ \sigma \sqrt { 2\pi } } \int _{ -\infty }^{ x }{ { { e }^{ -\frac { 1 }{ 2 } { \left( { (t-\mu ) }/{ \sigma } \right) }^{ 2 } } } } dt$$
Gracias por su visita, espero sus comentarios.
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