Teorema fundamental del calculo

El el post pasado hable del segundo teorema fundamental del calculo para integrales de linea, entonces pense que todas las demostraciones de teoremas fundamentales deben estar en mi blog.
Entonces:

$$PRIMER\quad TEOREMA\quad FUNDAMENTAL\quad DEL\quad CALCULO\quad INFINITESIMAL\\ \quad Sea\quad f\quad integrable\quad en\quad [a,b]\quad y\quad definimos\quad F\quad en\quad [a,b]\quad por\quad \\ F(x)=\int _{ a }^{ x }{ f } ,\quad si\quad f\quad es\quad continua\quad en\quad c\in [a,b]\quad entonces\quad \\ F\quad es\quad derivable\quad en\quad c\quad y\quad F'(c)=f(c)$$

Demostrare ambos basandome en el famoso Calculo infinitesimal de Michael Spivak en su segunda edición, muy recomendada lectura.

DEMOSTRACIÓN

Por definición sabemos que $F'(c)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac {F(c+h)-F(c) }{ h }  }$  y que c esta en [a,b] de aqui supngamos que tenemos una h> 0 por hipotesis podemos establecer que 

$$F(c+h)-F(c)=\int _{ c }^{ c+h }{ f }$$

Podemos definir dos rectangulos que acoten el area que representa la integral ${ M }_{ h }$ y ${ m }_{ h }$ de la siguiente manera

$${ M }_{ h }=sup\{ f(x)\left| c\le x\le c+h \right\} \\ { m }_{ h }=inf\{ f(x)\left| c\le x\le c+h \right\}$$

Por lo tanto se sique von lo establecido que

  $${ m }_{ h }h\le \int _{ c }^{ c+h }{ f } \le { M }_{ h }h$$  

$${ m }_{ h }\le \frac { F(c+h)-F(c) }{ h } \le { M }_{ h }\quad \quad$$

Ahora podemos hacer que ${ M }_{ h }$ y ${ m }_{ h }$  tiendan a f(c) y que cuando h tiende a 0 

$$\lim _{ h\rightarrow 0 }{ { \quad M }_{ h } } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ { \quad m }_{ h } } =f(c)$$

Por lo tanto $\frac { F(c+h)-F(c) }{ h }$ queda acotada de los 2 lados teniendo que 

$$\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { F(c+h)-F(c) }{ h }  } =f(c)=F'(c)$$  

Eso demuestra el teorema ya que F es derivable en c

$$SEGUNDO\quad TEOREMA\quad FUNDAMENTAL\quad DEL\quad CALCULO\quad INFINITESIMAL\\ Sea\quad f\quad integrable\quad en\quad [a,b]\quad y\quad f=g'\quad para\quad alguna\quad g\quad entonces\quad \\ \int _{ a }^{ b }{ f } =g(b)-g(a)$$

DEMOSTRACIÓN

Definimos una particion de $[a,b]$ $P=\{ { t }_{ 0 },...,{ t }_{ n }\}$ usando el teorema del valor medio podemos seleccionar un ${ { x }_{ i }\in  }[{ t }_{ i },{ t }_{ i-1 }]$ para que tengamos que

$$g({ t }_{ i })-g(t_{ i-1 })=g'(x_{ i })({ t }_{ i }-t_{ i-1 })=f(x_{ i })({ t }_{ i }-t_{ i-1 })$$

Como en el teorema anterior podemos acotar esa igualdad definiendo ${ M }_{ i }$ y ${ m }_{ i }$

$$M_{ i }=sup\{ f(x)|{ t }_{ i }\le x\le { t }_{ i-1 }\} \\ m_{ i }=inf\{ f(x)|{ t }_{ i }\le x\le { t }_{ i-1 }\}$$

Asi ahora podemos acotar de la siguiente manera

$$m_{ i }(t_{ 1 }-t_{ i-1 })\le f({ x }_{ i })(t_{ 1 }-t_{ i-1 })\le M_{ i }(t_{ 1 }-t_{ i-1 })\\ m_{ i }(t_{ 1 }-t_{ i-1 })\le g(t_{ 1 })-g(t_{ i-1 })\le M_{ i }(t_{ 1 }-t_{ i-1 })$$

Si definimos una suma de los elemenos desde $i=1,2,...,n$ tenemos que 

$$\sum _{ i=1 }^{ n }{ m_{ i }(t_{ 1 }-t_{ i-1 }) } \le \sum _{ i=1 }^{ n }{ g(t_{ 1 })-g(t_{ i-1 }) } \le \sum _{ i=1 }^{ n }{ M_{ i }(t_{ 1 }-t_{ i-1 }) } \\ \sum _{ i=1 }^{ n }{ m_{ i }(t_{ 1 }-t_{ i-1 }) } \le g(b)-g(a)\le \sum _{ i=1 }^{ n }{ M_{ i }(t_{ 1 }-t_{ i-1 }) } \\ $$  

Al final queda $g(b)-g(a)$ ya que los términos de en medio se van cancelando, estas sumas se pueden ver como una aproximación de la integral y como f es integrable en el intervalo:

$$L(f,P)\le g(b)-g(a)\le U(f,P)\\ $$

Esto es para cualquier particion por lo tanto 

$$\therefore g(b)-g(a)=\int _{ a }^{ b }{ f }$$

Con eso queda demostrado, gracias por su visita espero sus comentarios