Entonces:
$$ PRIMER\quad TEOREMA\quad FUNDAMENTAL\quad DEL\quad CALCULO\quad INFINITESIMAL\\ \quad Sea\quad f\quad integrable\quad en\quad [a,b]\quad y\quad definimos\quad F\quad en\quad [a,b]\quad por\quad \\ F(x)=\int _{ a }^{ x }{ f } ,\quad si\quad f\quad es\quad continua\quad en\quad c\in [a,b]\quad entonces\quad \\ F\quad es\quad derivable\quad en\quad c\quad y\quad F'(c)=f(c)$$
Demostrare ambos basandome en el famoso Calculo infinitesimal de Michael Spivak en su segunda edición, muy recomendada lectura.
DEMOSTRACIÓN
Por definición sabemos que $F'(c)=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac {F(c+h)-F(c) }{ h } } $ y que c esta en [a,b] de aqui supngamos que tenemos una h> 0 por hipotesis podemos establecer que
$$F(c+h)-F(c)=\int _{ c }^{ c+h }{ f } $$
Podemos definir dos rectangulos que acoten el area que representa la integral ${ M }_{ h }$ y ${ m }_{ h }$ de la siguiente manera
$${ M }_{ h }=sup\{ f(x)\left| c\le x\le c+h \right\} \\ { m }_{ h }=inf\{ f(x)\left| c\le x\le c+h \right\} $$
Por lo tanto se sique von lo establecido que
$${ m }_{ h }h\le \int _{ c }^{ c+h }{ f } \le { M }_{ h }h$$
$${ m }_{ h }\le \frac { F(c+h)-F(c) }{ h } \le { M }_{ h }\quad \quad $$
Ahora podemos hacer que ${ M }_{ h }$ y ${ m }_{ h }$ tiendan a f(c) y que cuando h tiende a 0
$$\lim _{ h\rightarrow 0 }{ { \quad M }_{ h } } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ { \quad m }_{ h } } =f(c)$$
Por lo tanto $\frac { F(c+h)-F(c) }{ h } $ queda acotada de los 2 lados teniendo que
$$\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { F(c+h)-F(c) }{ h } } =f(c)=F'(c)$$
Eso demuestra el teorema ya que F es derivable en c
$$SEGUNDO\quad TEOREMA\quad FUNDAMENTAL\quad DEL\quad CALCULO\quad INFINITESIMAL\\ Sea\quad f\quad integrable\quad en\quad [a,b]\quad y\quad f=g'\quad para\quad alguna\quad g\quad entonces\quad \\ \int _{ a }^{ b }{ f } =g(b)-g(a)$$
DEMOSTRACIÓN
Definimos una particion de $[a,b]$ $P=\{ { t }_{ 0 },...,{ t }_{ n }\} $ usando el teorema del valor medio podemos seleccionar un ${ { x }_{ i }\in }[{ t }_{ i },{ t }_{ i-1 }]$ para que tengamos que
$$g({ t }_{ i })-g(t_{ i-1 })=g'(x_{ i })({ t }_{ i }-t_{ i-1 })=f(x_{ i })({ t }_{ i }-t_{ i-1 })$$
Como en el teorema anterior podemos acotar esa igualdad definiendo ${ M }_{ i }$ y ${ m }_{ i }$
$$M_{ i }=sup\{ f(x)|{ t }_{ i }\le x\le { t }_{ i-1 }\} \\ m_{ i }=inf\{ f(x)|{ t }_{ i }\le x\le { t }_{ i-1 }\} $$
Asi ahora podemos acotar de la siguiente manera
$$m_{ i }(t_{ 1 }-t_{ i-1 })\le f({ x }_{ i })(t_{ 1 }-t_{ i-1 })\le M_{ i }(t_{ 1 }-t_{ i-1 })\\ m_{ i }(t_{ 1 }-t_{ i-1 })\le g(t_{ 1 })-g(t_{ i-1 })\le M_{ i }(t_{ 1 }-t_{ i-1 })$$
Si definimos una suma de los elemenos desde $i=1,2,...,n$ tenemos que
$$\sum _{ i=1 }^{ n }{ m_{ i }(t_{ 1 }-t_{ i-1 }) } \le \sum _{ i=1 }^{ n }{ g(t_{ 1 })-g(t_{ i-1 }) } \le \sum _{ i=1 }^{ n }{ M_{ i }(t_{ 1 }-t_{ i-1 }) } \\ \sum _{ i=1 }^{ n }{ m_{ i }(t_{ 1 }-t_{ i-1 }) } \le g(b)-g(a)\le \sum _{ i=1 }^{ n }{ M_{ i }(t_{ 1 }-t_{ i-1 }) } \\ $$
Al final queda $g(b)-g(a)$ ya que los términos de en medio se van cancelando, estas sumas se pueden ver como una aproximación de la integral y como f es integrable en el intervalo:
$$L(f,P)\le g(b)-g(a)\le U(f,P)\\ $$
Esto es para cualquier particion por lo tanto
$$\therefore g(b)-g(a)=\int _{ a }^{ b }{ f } $$
Con eso queda demostrado, gracias por su visita espero sus comentarios
Comentarios
Publicar un comentario