Teorema del valor medio y de Rolle

He notado que el teorema que mas he usado en mis demostraciones el el teorema del valor medio, por lo tanto debo demostrarlo, pero para hacerlo necesitare primero demostrar otro teorema que me sera de ayuda.

$$TEOREMA\quad DE\quad ROLLE\quad \\ Se\quad f\quad una\quad funcion\quad continua\quad en\quad [a,b]\quad y\quad derivable\quad en\quad (a,b)\\ y\quad supongamos\quad que\quad f(a)=f(b)\\ Existe\quad entonces\quad un\quad punto\quad c\in [a,b]\quad tal\quad que\quad f'(c)=0\quad $$

DEMOSTRACIÓN 

La demostración sera por contradccion, supondremos que $f(x)\neq 0$ para todo $x$ en $(a,b)$, pero esto no puede ser ya que la función debe de tener maximo absoluto $M$   y minimo absoluto $m$ en algún punto del intervalo $[a,b]$ Si no tuviera ningún máximo o mínimo relativo entonces la función seria constante y por lo tanto $f'(x)=0$ lo cual seria una contradicción de lo que se supuso, por lo tanto queda que $f'(c)=0$ para $a<c<b$  lo cual da como demostrado el teorema.

$$TEOREMA\quad DEL\quad VALOR\quad MEDIO\quad PARA\quad DERIVADAS\\ Si\quad f\quad es\quad una\quad función\quad continua\quad en\quad todo\quad un\quad intervalo\quad cerrado\\ [a,b]\quad que\quad tiene\quad derivada\quad en\quad cada\quad punto\quad del\quad intervalo\quad abierto\\ (a,b)\quad existe\quad por\quad lo\quad menos\quad un\quad punto\quad c\in [a,b]\quad tal\quad que\quad \\ f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$$

DEMOSTRACIÓN

Para poder usar el teorema de Rolle vamos a tener que fabricar una nueva funcion $h(x)$ de una manera en la que $h(a)=h(b)$ 

$$h(x)=f(x)(b-a)-x[f(b)-f(a)]$$

Entonces se le puede aplicar el teorema de Rolle por lo tanto existe un $c\in [a,b]$ en el que $h'(c)=0$ de lo cual tenemos que al derivar:

$$h'(x)=f'(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]$$

y como $h'(c)=0$ 

$$0=f'(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]\\ \therefore f(b)-f(a)=f'(x)(b-a)$$

Con eso queda demostrado, ambas demostraciones son muy cortas.

Gracias por su visita