Segundo Teorema Fundamental del cálculo para integrales de linea

Como muchas de las propiedades que se tienen en el calculo de funciones de una sola variable, el segundo teorema puede expandirse a campos vectoriales con el siguiente teorema,
Segundo Teorema Fundamental del cálculo para integrales de linea:

$$Si\quad \varphi \quad es\quad un\quad campo\quad escalar\quad diferenciable\quad con\quad \nabla \varphi \quad continuo\quad en\quad S\subseteq { R }^{ { n } }\\ entonces\quad sean\quad \overrightarrow { a } \quad y\quad \overrightarrow { b } \quad unidos\quad por\quad un\quad camino\quad regular\quad a\quad trozos\quad \overrightarrow { \alpha } (t)\subseteq S\\ \quad  \quad \Longrightarrow \int _{ \overrightarrow { a } }^{ \overrightarrow { b } }{ \nabla \varphi \cdot d } \overrightarrow { \alpha } =\varphi (\overrightarrow { b } )-\varphi (\overrightarrow { a } )$$

Para demostralo vamos a usar la regla de la cadena y el segundo teorema fundamental del cáculo que todos conocemos $\int _{ a }^{ b }{ f'(t) } dt=f(b)-f(a)$

DEMOSTRACIÓN

Primero supongamos que $\overrightarrow { \alpha  } $ es regular sobre [a,b] entonces en la integral podemos desarrollar:

$$\int _{ \overrightarrow { a }  }^{ \overrightarrow { b }  }{ \nabla \varphi \cdot d } \overrightarrow { \alpha  } =\int _{ a }^{ b }{ \nabla \varphi [ } \overrightarrow { \alpha  } (t)]\cdot \overrightarrow { \alpha  } '(t)dt$$

Es decir que ahora tenemos una función normal de una variable en la que ya se podría usar el segundo teorema fundamental del calculo, definamos la siguiente funcion: $\nabla \varphi [\overrightarrow { \alpha  } (t)]\cdot \overrightarrow { \alpha  } '(t)dt=g'(t)$ de la cual se puede notar que por la regla de la cadena $\varphi [\overrightarrow { \alpha  } (t)]=g(t)$, sabemos que $g'(t)$ es continua en [a,b] debido a que $\nabla \varphi $ es continua tambien. por lo tanto podemos usar el teorema;

$$\int _{ \overrightarrow { a }  }^{ \overrightarrow { b }  }{ \nabla \varphi \cdot d\overrightarrow { \alpha  }  } =\int _{ a }^{ b }{ g'(t)dt } =g(b)-g(a)=\varphi [\overrightarrow { \alpha  } (b)]-\varphi [\overrightarrow { \alpha  } (a)]=\varphi (\overrightarrow { b } )-\varphi (\overrightarrow { a } )$$

Lo que demuestra el teorema para el caso donde  $\overrightarrow { \alpha  } $ es regular sobre [a,b], el caso en donde no es regular se pueden hacer particiones en cada irregularidad aprovechando que en cada nueva partición sera regular y podremos usar lo demostrado, aparte de que las sumas son aceptadas por las integrales, es decir las podemos dividir en intervalos finitos, seran subintervalos $[{ t }_{ k-1 },{ t }_{ k }]$ y que hay m irregularidades:

$$\int _{ \overrightarrow { a }  }^{ \overrightarrow { b }  }{ \nabla \varphi \cdot d\overrightarrow { \alpha  }  } =\sum _{ k=1 }^{ m }{ \int _{ \overrightarrow { \alpha  } { t }_{ k-1 } }^{ \overrightarrow { \alpha  } { t }_{ k } }{ \nabla \varphi  } = } \sum _{ k=1 }^{ m }{ \{ \varphi [\overrightarrow { \alpha  } ( } { t }_{ k })]-\varphi [\overrightarrow { \alpha  } ({ t }_{ k-1 })]\} =\varphi (\overrightarrow { b } )-\varphi (\overrightarrow { a } )$$

Solo se hace lo mismo que en primer caso solo que partición por partición ya que son finitas, con eso queda demostrado.

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