Derivación de funciones implicitas

En algunas ocasiones las expresiones que usamos para modelar algún suceso son complicadas y no es posible obtener funciones explicitas. Si se quiere calcular sus derivadas con el siguiente teorema nos es posible.
*El teorema es en un campo escalar pero fácilmente puede adaptarse a los casos de una variable.

$$Teorema:\quad Si\quad F\quad es\quad un\quad campo\quad escalar\quad diferenciable\quad en\quad T\subseteq { R }^{ n }\quad y\quad que\quad \\ F({ x }_{ 1 },...,{ x }_{ n })=0\quad define\quad implicitamente\quad a\quad { x }_{ n\quad }como\quad funcion\quad diferenciable\quad \\ de\quad \quad { x }_{ n }=({ x }_{ 1 },...,{ x }_{ n-1 }),\quad para\quad todos\quad los\quad puntos\quad ({ x }_{ 1 },...,{ x }_{ n-1 })\quad en\quad S\subseteq { R }^{ n-1 }\quad \\ entonces\quad para\quad cada\quad k=1,2,...,n-1\quad la\quad derivada\quad parcial\quad { D }_{ k }f\quad esta\quad dada\quad \\ por\quad { D }_{ k }f=-\frac { { D }_{ k }F }{ { D }_{ n }F } \quad con\quad { D }_{ n }F\neq 0\quad $$

La demostracion se hara de forma directa intentado calcular la derivada en el k-esimo elemento, para ello se hara uso la regla de la cadena en campos escalares.

DEMOSTRACIÓN

Primero reescribiremos $F$ en terminos de nuevas funciones $u_i$ para poder aplicar la regla de la cadena:

$F[x_1,x_2,...,f(x_1,x_2,...,x_{n-1}]=0$

$x_1=u_1(x_1,...x_{n-1})$

$\vdots$

$x_k=u_k(x_1,...x_{n-1}) $

$\vdots$

$x_n=u_n(x_1,...x_{n-1})=f(x_1,...x_{n-1})$

Y llamemos $g$ a la función dada por 

$$g(x_1,x_2,...x_n)=F[u_1,u_2,...,u_n]=0$$

Ahora ya podemos derivar $g$ con respecto a cada una de las variables usando la regla de la cadena, aun derivando sigue siendo igual a 0, con respecto a $x_1$

$$\frac{\partial g}{\partial x_1}=D_1 F  \frac{\partial u_1}{\partial x_1}+D_2 F  \frac{\partial u_2}{\partial x_1}+...+D_n F  \frac{\partial u_n}{\partial x_1}=0$$

Pero la primer derivada es la unica diferente de 0 y que las que siguen es como si deriváramos una constante es decir $\frac{\partial u_1}{\partial x_1}=\frac{\partial x_1}{\partial x_1}=1$ y a para los demas $i\neq 1$ se tiene que $\frac{\partial u_i}{\partial x_1}=0$, por lo tanto 

$$\frac{\partial g}{\partial x_1}=D_1 F+D_n\frac{\partial f}{\partial x_1}$$

En el n-simo elemento solo queda expresada la derivada ya que no conocemos la función $f$ , en los demás casos en donde no es la variable respecto a la cual se esta derivando se obtiene cero ya que se toma como constante. Este resultado lo podemos extender ahora para cuando se derive con respecto al k-esimo elemento:

$$\frac{\partial g}{\partial x_k}=D_1 F  \frac{\partial u_1}{\partial x_k}+D_2 F  \frac{\partial u_2}{\partial x_k}+...+D_n F  \frac{\partial u_n}{\partial x_k}=0$$

Igual se cancelan todos los terminos independientes quedando solo el k-ésimo elemento

$$\frac{\partial g}{\partial x_k}=D_k F+D_n F \frac{\partial f}{\partial x_k}=0$$

Despejando queda expresado como el teorema lo indica 

$$$$\frac{\partial f}{\partial x_k}=-\frac{D_k F}{D_n F}$$

Quedando demostrado el teorema.