Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es uno de los mas importantes en diversas áreas de estudio de las matemáticas, normalmente es conocido desde los cursos mas básicos de matemáticas con demostraciones intuitivas, se tiene diversas formas de demostrarlo usando varias herramientas, en esta ocasión haré uso de las definiciones de distancia y ortogonalidad de la geometria analitica.

$$TEOREMA\quad DE\quad PITÁGORAS\\ En\quad todo\quad triángulo\quad rectángulo\quad el\quad cuadrado\quad de\quad la\quad hipotenusa\quad \\ es\quad igual\quad a\quad la\quad suma\quad de\quad los\quad cuadrados\quad de\quad los\quad catetos\\ { \left\| \overrightarrow { a }  \right\|  }^{ 2 }+{ \left\| \overrightarrow { b }  \right\|  }^{ 2 }={ \left\| \overrightarrow { c }  \right\|  }^{ 2 }$$

Consideremos el siguiente triangulo rectángulo

DEMOSTRACIÓN

Los catetos son los dos lados adyacentes al angulo de 90°, sus magnitudes están designadas por $\left\| \overrightarrow { a }  \right\| $ y $\left\| \overrightarrow { b}  \right\| $

El vector $\overrightarrow { c }$ tiene la misma magnitud que $\overrightarrow { a }-\overrightarrow { b}$ por lo tanto segun el teorema

$${ \left\| \overrightarrow { a }  \right\|  }^{ 2 }{ +\left\| \overrightarrow { b }  \right\|  }^{ 2 }={ \left\| \overrightarrow { a } -\overrightarrow { b }  \right\|  }^{ 2 }={ \left\| \overrightarrow { c }  \right\|  }^{ 2 }$$

Desarrollando con las propiedades de la magnitud y el producto punto

$${ \left\| \overrightarrow { a }  \right\|  }^{ 2 }{ +\left\| \overrightarrow { b }  \right\|  }^{ 2 }={ \left\| \overrightarrow { a } -\overrightarrow { b }  \right\|  }^{ 2 }\\ { \left\| \overrightarrow { a }  \right\|  }^{ 2 }{ +\left\| \overrightarrow { b }  \right\|  }^{ 2 }=(\overrightarrow { a } -\overrightarrow { b } )\cdot (\overrightarrow { a } -\overrightarrow { b } )\\ { \left\| \overrightarrow { a }  \right\|  }^{ 2 }{ +\left\| \overrightarrow { b }  \right\|  }^{ 2 }=\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { a } -2\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } +\overrightarrow { b } \cdot \overrightarrow { b } \\ { \left\| \overrightarrow { a }  \right\|  }^{ 2 }{ +\left\| \overrightarrow { b }  \right\|  }^{ 2 }={ \left\| \overrightarrow { a }  \right\|  }^{ 2 }-{ 2\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } +\left\| \overrightarrow { b }  \right\|  }^{ 2 }\\ \Leftrightarrow -2\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } =0\quad \Leftrightarrow \quad \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } =0$$

Cuando el producto punto de dos vectores es igual a 0 implica que ambos vectores son ortogonales, lo que significa que forman un angulo de 90°, por lo tanto, el teorema se cumple si y solo si son ortogonales, eso demuestra el teorema.

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