Area de un sector circular

En esta publicación daré una demostración de que el area contenida en un sector circular en funcion del angulo es

$$\frac { r^{ 2 }\theta  }{ 2 } $$

Observese la sig figura

El triangulo se puede obtener fácilmente, la parte restante se puede calcular mediante la sig. integral.

$$A(x)=\frac { x\sqrt { r^{ 2 }-x^{ 2 } }  }{ 2 } +\int _{ x }^{ r }{ \sqrt { r^{ 2 }-t^{ 2 } } dt } $$

De ahí podemos seguir desarrollando hasta dejarlo en términos mas generales, integrando por alguno de los métodos obtenemos

$$A(x)=\frac { x\sqrt { r^{ 2 }-x^{ 2 } }  }{ 2 } -{ r }^{ 2 }\int _{ x }^{ r }{ si{ n }^{ 2 }\theta d\theta  } $$

$$A(x)=\frac { x\sqrt { r^{ 2 }-x^{ 2 } }  }{ 2 } -\frac { { r }^{ 2 } }{ 2 } (\theta -\sin { \theta  } { \cos { \theta  } | }_{ x }^{ r })$$

Evaluando en el intervalo 

$$A(x)=\frac { x\sqrt { { r }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } +{ r }^{ 2 }(\arccos { (\frac { t }{ r } )-\frac { t }{ r } { \sqrt { 1-{ (\frac { t }{ r } ) }^{ 2 } } |  }_{ x }^{ r }) }  }{ 2 } $$

$$A(x)=\frac { x\sqrt { { r }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } +{ r }^{ 2 }(\arccos { (\frac { x }{ r } )-\frac { x }{ r } { \sqrt { 1-{ (\frac { x }{ r } ) }^{ 2 } }})} }{ 2 } $$

Para finalizar se debe dejar en términos del angulo, para ello usamos $ x=r\cos { \theta  } $

$$A(r\cos { \theta  } )=\frac { 1 }{ 2 } (r\cos { \theta  } \sqrt { { r }^{ 2 }-{ r }^{ 2 }\cos ^{ 2 }{ \theta  }  } +{ r }^{ 2 }(\arccos { (\cos { \theta  } ) } -\cos { \theta \sqrt { 1-\cos ^{ 2 }{ \theta  }  } )) } \\A(r\cos { \theta  } )=\frac { 1 }{ 2 } ({ r }^{ 2 }\cos { \theta  } \sin { \theta  } +{ r }^{ 2 }(\theta -\cos { \theta  } \sin { \theta  } ))\\A(r\cos { \theta  } )=\frac { { r }^{ 2 } }{ 2 } (\theta +\cos { \theta  } \sin { \theta  } -\cos { \theta  } \sin { \theta  } )=\frac { { r }^{ 2 }\theta  }{ 2 } $$

Y con eso queda demostrado.

Gracias por su visita.