Teorema:
Sea $\{X(t), t\in T\}$ un proceso estocástico con media 0 y segundo momento finito. Con función de covarianzas continua $K(t,s)$.
1. Supongamos que $\lambda _k$ y $\varphi_k$ satisfacen la siguiente ecuación integral: $$\int_T K(s,t)\varphi_k (t)dt = \lambda _k \varphi_k (s)$$ Y tomamos $$\xi_k = \frac{1}{\sqrt{\lambda_k}}\int_{T} X(t)\varphi_k (t) dt$$ Entonces: $$X(t)=\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\sqrt{\lambda _k} \xi_k \varphi_k (t)$$ uniformemente de manera que $$\mathbb{E}\left( X(t) -\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\lambda _k} \xi_k \varphi_k (t)\right) ^2\rightarrow 0$$
2. Inversamente si $X(t)=\sum_{k=1}^{\infty}\sqrt{\lambda _k} \xi_k \varphi_k (t)$ donde $\xi_{k}$ son variables aleatorias independientes con media 0 y varianza 1, entonces: $$\int_T K(s,t)\varphi_k (t)dt = \lambda _k \varphi_k (s)$$
De esta manera podríamos tomar las sumas parciales $X^{(n)}(t)=\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\lambda _k} \xi_k \varphi_k (t)$ para aproximar nuestro proceso $X(t)$ con un valor suficientemente grande de $n$, nuestro problema reside en nuestra capacidad para encontrar soluciones analíticas de la ecuación integral $$\int_T K(s,t)\varphi_k (t)dt = \lambda _k \varphi_k (s)$$ lo cual en la mayoría de los casos no nos sera posible y tendremos que aproximar nuestras soluciones de $\varphi_k$ y $\lambda_k$ de manera computacional.
Nuestro objetivo es poder aproximar el movimiento browniano con la expansión de Karhunen-Loeve. El movimiento Browniano es un proceso gausiano que empieza en $B_0=0$ y tiene función de covarianzas $K(t,s)=\min\{t,s\}$ con $s,t\in T$ por lo que debemos solucionar la ecuación integral $$\mathcal {K}f =\int_T \min\{s,t\}f(t)dt=\lambda f(s)$$ Notamos que $-\frac{d^2}{ds^2}\mathcal{K}f=f$ entonces es equivalente a solucionar la ecuación diferencial $f''+\frac{1}{\lambda}f=0$ con $f(0)=f'(1)=0$, cuya solución es sencilla de conocer: $$\varphi_k(t) =\sqrt{2}\sin\left[ (k-\frac{1}{2})\pi t\right]$$ $$\lambda _k = \frac{4}{\pi ^2 (2k-1)^2}$$ Así: $$B(t)=\sqrt{2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{\pi (2k-1)}\sin\left[\left( k-\frac{1}{2}\right)\pi t\right]\xi_k$$
En el caso de los puentes brownianos, que son procesos con la propiedad que $W_0=W_1=0$ y solo están definidos en el intervalo $[0,1]$, tienen una matriz de covarianzas $K(t,s)=\min\{t,s\} -st$ por lo que nuestro problema es muy similar, en este caso tambien logramos obtener una solución analitica dada por $$W(t)= \sqrt{2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k\pi}\sin(k\pi t)\xi_k$$
Podemos ahora aplicar nuestros resultados para simular trayectorias de ambos procesos en el intervalo $[0,1]$, para esto utilizaremos Python y las expresiones $X^{(n)}(t)$ explicitamente, con $n=1000$, se agrega como un extra el caso del Brownian Sheet donde en lugar de tener un tiempo se tiene 2, para este caso se uso la expansión de Karhunen-Loeve de varias variables, pero en escencia es un resultado muy similar.
Importamos todo lo necesario en este caso usaremos ployly para graficar nuestras simulaciones:
Importamos todo lo necesario en este caso usaremos ployly para graficar nuestras simulaciones:
from __future__ import division from math import * import pandas as pd import numpy as np import plotly.graph_objs as go import plotly.plotly as py from plotly.tools import FigureFactory as FF import plotly.plotly as py
En el caso del Movimiento Browniano tenemos la expansión: $$B(t)=\sqrt{2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{\pi (2k-1)}\sin\left[\left( k-\frac{1}{2}\right)\pi t\right]\xi_k$$ para la cual escribimos la siguiente función de $dt$ :
def BM(dt): T = np.arange(0,1+dt,dt) n = len(T) B = np.ones(n)*0 for i in range(n): xi = sqrt(2)*(np.random.randn())/((i+0.5)*pi) B = B + xi*np.array([sin((i+0.5)*pi*t) for t in T]) return T, B
Simulamos varias veces y graficamos el resultado
W = [] DAT = [] for k in range(8): X, Y = BM(0.001) W.append(Y) DAT.append(go.Scatter(x=X, y=Y, line = dict(color = '#ff{}000'.format(k)),name="B{}".format(k))) Layout=go.Layout(title='Movimiento Browniano $B_t(\omega)$') fig = go.Figure(data=DAT, layout=Layout) py.iplot(fig,filename='MBM')
Hacemos lo mismo en el caso del Puente Browniano; ;
def BB(dt): T = np.arange(0,1+dt,dt) n = len(T) B = np.ones(n)*0 for i in range(n): xi = sqrt(2)*np.random.randn()/((i+1)*pi) B = B + xi*np.array([sin((i+1)*pi*t) for t in T]) return T, B
Y simulamos una trayectoria para probar:
W = [] DAT = [] for k in range(8): X, Y = BB(0.001) W.append(Y) DAT.append(go.Scatter(x=X, y=Y, line = dict(color = '#ff{}580'.format(k)),name="W{}".format(k))) Layout=go.Layout(title='Puente Browniano $W_t(\omega)$') fig = go.Figure(data=DAT, layout=Layout) py.iplot(fig,filename='PB')
$$W(t,s)=\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{2}{\pi^2 (2i-1)(2j-1)}\sin \left[\left( i-\frac{1}{2}\right) \pi t\right] \sin \left[\left( j-\frac{1}{2}\right) \pi s\right] \xi_{ij}$$
Programamos un par de funcíones, para calcular $W(t,s)$ puntualmente y luego para una gradilla dada por $dt$
def BSp(x,y,n, Nij): z = 0 for i in range(n): for j in range(n): z += Nij[i][j]*(2/(pi**2*(i-0.5)*(j-0.5)))*sin((i-0.5)*pi*x)*sin((j-0.5)*pi*y) return z def BS(dt): T = np.arange(0,1+dt,dt) Z = pd.DataFrame(columns=T) n = len(T) Nij = np.random.rand(n,n) for x in T: Z[x] = [BSp(x,y,n, Nij) for y in T] return Z
En este caso se obtiene una grafica en 3-D:
Z = BS(0.01) data = [ go.Surface( z=Z.as_matrix() ) ] layout = go.Layout( title='Brownian Sheet', autosize=False, width=800, height=500, margin=dict( l=65, r=50, b=65, t=90 ) ) fig = go.Figure(data=data, layout=layout) py.iplot(fig, filename='Brownian Sheet')
Fuentes:
1. Karhunen-Loeve Expansions and their Applications, Limin Wang, The London School of Economics and Political Science, 2008.
2. Quasi-Monte Carlo simulation of Brownian sheet with application to option pricing, Xinyu Song and Yazhen Wang, Statistical Theory and Related Fields, pag 82-91, 2017, https://doi.org/10.1080/24754269.2017.1332965
Comentarios
Publicar un comentario