Teniendo una función medible f entre dos espacios (S,\mathcal{S}) y (T,\mathcal{T}), dada una medida \mu en (S,\mathcal{S}) se puede definir una nueva medida sobre (T,\mathcal{T}) dada por \mu \circ f^{-1}, si B\in \mathcal{T} se define como (\mu \circ f^{-1})B=\mu(f^{-1}B)=\mu\{s\in S : f(s)\in B\} Estas función f es de gran utilidad para llevar nuestras medidas a espacios mas fáciles de manejar, a esta función medible le podemos definir su integral \mu f=\int f d\mu=\int f(\omega)\mu(d\omega), primero para el caso donde f es simple, es decir f=\sum_k c_k 1_{A_k} donde A_1,A_2,...A_n\in \mathcal{S}, entonces \mu f=\sum_k c_k \mu A_k Se puede probar que cualquier función f\ge 0 se puede aproximar por funciones simples f_1,f_2,... entonces si f\ge 0 su integral es \mu f=\lim_n \mu f_n Es fácil probar que f\mapsto \mu f es lineal por lo que en el caso general solo sera la suma de su parte positiva y negativa, por lo que queda definido \mu f.
Para poder hablar de intercambiar del orden de integración tenemos que definir la medida producto, el siguiente teorema hace que tenga sentido hablar de la integral de una integral:
Teorema 1: Sean dos espacios de medida (S,\mathcal{S}) y (T,\mathcal{T}), una función medible f:S\times T \rightarrow \mathbb{R}^+ y una medida \mu en S. Entonces f(s,t) es medible \mathcal{S}-medible en s\in S para cada t\in T, y la función t\mapsto \mu f(\cdot, t) es \mathcal{T}-medible.
Con este resultado ya tiene sentido hablar de la integral de la integral pues podemos calcular la integral de \mu f(\cdot, t)
Teorema de Fubini
Para cualquier par de espacios (S,\mathcal{S},\mu) y (T,\mathcal{T},\nu) existe una medida única \mu \otimes \nu sobre (S\times T, \mathcal{S}\otimes\mathcal{T}) que satisfacen:
\mu\otimes\nu(A\times B)=\mu A \cdot \nu B para todo A\in \mathcal{S} y B\in \mathcal{T}
También para cualquier función medible e integrable ((\mu\otimes\nu)|f|\le\infty) f:S\times T \rightarrow \mathbb{R} (\mu\otimes\nu)f=\int \left( \int f(s,t)\nu(dt) \right) \mu(ds)=\int \left( \int f(s,t)\mu(ds) \right) \nu(dt)Demostración
La demostración consiste en probar las igualdades para funciones simples y se generaliza por la monotonía y linealidad de la integral. Primero consideremos la medida: (\mu\otimes\nu )C=\int \left( \int 1_{C}(s,t)\nu(dt) \right) \mu(ds), \quad \quad C\in \mathcal{S}\otimes\mathcal{T} Si tomamos a C=A\times B se cumple que 1_{C}(s,t)=1_{A}(s)1_{B}(t) así (\mu\otimes\nu )C=\int 1_{A}(s)\mu (ds) \cdot \int 1_{B}(t) \nu(dt)=\mu A \cdot \nu B Consideramos la clase \mathcal{J} donde se cumple esta propiedad y podemos probar que es un \pi-sistema por lo que existe una medida única, en este caso \mu\otimes\nu.
Notemos que el orden de integración lo pudimos haber tomado al revés y aun así se cumple, por lo que se prueba la segunda igualdad en el caso en el que f=1_C y facilmente se extiende para f=\sum_k c_k 1_{A_k} y gracias que si f\ge 0 existe una sucesión de funciones simples tales que \mu\otimes \nu f=\lim_n \mu\otimes \nu f_n, en el caso general solo se utiliza la expresión f=f^{+}+f^{-} con la restricción de que cuando \mu f(s,\cdot)=\infty s pertenezca a un conjunto de medida cero al igual que con \nu f(\cdot,t)= \infty sea con t en un conjunto de medida cero.
\Box
A la medida definida en el teorema \mu\otimes\nu se le llama mediad producto. Este teorema tiene importantes implicaciones en la teoria de la probabilidad como los dos siguientes que son consecuencia directa de este:
Teorema 3:
Sean X_1,...,X_n elementos aleatorios con distribuciones \mu_1,...\mu_n en algún espacio medible S_1,...S_n. Entonces X_k son independientes si y solo si X=(X_1,...,X_n) tiene distribución \mu_1\otimes\cdot\cdot\cdot\otimes\mu_n.
Teorema 4:
Sean X y Y dos elementos aleatorios independientes en dos espacios S y T y sea una función medible f:S\times T \rightarrow \mathbb{R} con \mathbb{E}(\mathbb{E}|f(s,Y)|)_{s=X}\le \infty entonces \mathbb{E}(f(X,Y))=\mathbb{E}(\mathbb{E}(f(s,Y))_{s=X}
Este teorema tiene su aplicación directa al calculo de integrales cuando hablamos de la medida de Lebesgue unica definida sobre la recta real \lambda[a,b]=b-a y su versión d-dimensional es \lambda\otimes\cdot\cdot\cdot \otimes\lambda=\lambda^{\otimes d} Entonces ahora podemos considerar funciones medibles f:\mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R} y calcular \lambda^{\otimes d} f, en el caso de d=2 tenemos el conocido teorema de fubini del calculo vectorial: \int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)
Teorema 3:
Sean X_1,...,X_n elementos aleatorios con distribuciones \mu_1,...\mu_n en algún espacio medible S_1,...S_n. Entonces X_k son independientes si y solo si X=(X_1,...,X_n) tiene distribución \mu_1\otimes\cdot\cdot\cdot\otimes\mu_n.
Teorema 4:
Sean X y Y dos elementos aleatorios independientes en dos espacios S y T y sea una función medible f:S\times T \rightarrow \mathbb{R} con \mathbb{E}(\mathbb{E}|f(s,Y)|)_{s=X}\le \infty entonces \mathbb{E}(f(X,Y))=\mathbb{E}(\mathbb{E}(f(s,Y))_{s=X}
Este teorema tiene su aplicación directa al calculo de integrales cuando hablamos de la medida de Lebesgue unica definida sobre la recta real \lambda[a,b]=b-a y su versión d-dimensional es \lambda\otimes\cdot\cdot\cdot \otimes\lambda=\lambda^{\otimes d} Entonces ahora podemos considerar funciones medibles f:\mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R} y calcular \lambda^{\otimes d} f, en el caso de d=2 tenemos el conocido teorema de fubini del calculo vectorial: \int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)
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