Teniendo una función medible $f$ entre dos espacios $(S,\mathcal{S})$ y $(T,\mathcal{T})$, dada una medida $\mu$ en $(S,\mathcal{S})$ se puede definir una nueva medida sobre $(T,\mathcal{T})$ dada por $\mu \circ f^{-1}$, si $B\in \mathcal{T}$ se define como $$(\mu \circ f^{-1})B=\mu(f^{-1}B)=\mu\{s\in S : f(s)\in B\}$$ Estas función $f$ es de gran utilidad para llevar nuestras medidas a espacios mas fáciles de manejar, a esta función medible le podemos definir su integral $\mu f=\int f d\mu=\int f(\omega)\mu(d\omega)$, primero para el caso donde $f$ es simple, es decir $f=\sum_k c_k 1_{A_k}$ donde $A_1,A_2,...A_n\in \mathcal{S}$, entonces $$\mu f=\sum_k c_k \mu A_k$$ Se puede probar que cualquier función $f\ge 0$ se puede aproximar por funciones simples $f_1,f_2,...$ entonces si $f\ge 0$ su integral es $$\mu f=\lim_n \mu f_n$$ Es fácil probar que $f\mapsto \mu f $ es lineal por lo que en el caso general solo sera la suma de su parte positiva y negativa, por lo que queda definido $\mu f$.
Para poder hablar de intercambiar del orden de integración tenemos que definir la medida producto, el siguiente teorema hace que tenga sentido hablar de la integral de una integral:
Teorema 1: Sean dos espacios de medida $(S,\mathcal{S})$ y $(T,\mathcal{T})$, una función medible $f:S\times T \rightarrow \mathbb{R}^+$ y una medida $\mu$ en $S$. Entonces $f(s,t)$ es medible $\mathcal{S}$-medible en $s\in S$ para cada $t\in T$, y la función $t\mapsto \mu f(\cdot, t)$ es $\mathcal{T}$-medible.
Con este resultado ya tiene sentido hablar de la integral de la integral pues podemos calcular la integral de $\mu f(\cdot, t)$
Teorema de Fubini
Para cualquier par de espacios $(S,\mathcal{S},\mu)$ y $(T,\mathcal{T},\nu)$ existe una medida única $\mu \otimes \nu$ sobre $(S\times T, \mathcal{S}\otimes\mathcal{T})$ que satisfacen:
$\mu\otimes\nu(A\times B)=\mu A \cdot \nu B$ para todo $A\in \mathcal{S}$ y $B\in \mathcal{T}$
También para cualquier función medible e integrable ($(\mu\otimes\nu)|f|\le\infty$) $f:S\times T \rightarrow \mathbb{R}$ $$(\mu\otimes\nu)f=\int \left( \int f(s,t)\nu(dt) \right) \mu(ds)=\int \left( \int f(s,t)\mu(ds) \right) \nu(dt)$$Demostración
La demostración consiste en probar las igualdades para funciones simples y se generaliza por la monotonía y linealidad de la integral. Primero consideremos la medida: $$(\mu\otimes\nu )C=\int \left( \int 1_{C}(s,t)\nu(dt) \right) \mu(ds), \quad \quad C\in \mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$$ Si tomamos a $C=A\times B$ se cumple que $1_{C}(s,t)=1_{A}(s)1_{B}(t)$ así $$(\mu\otimes\nu )C=\int 1_{A}(s)\mu (ds) \cdot \int 1_{B}(t) \nu(dt)=\mu A \cdot \nu B$$ Consideramos la clase $\mathcal{J}$ donde se cumple esta propiedad y podemos probar que es un $\pi$-sistema por lo que existe una medida única, en este caso $\mu\otimes\nu$.
Notemos que el orden de integración lo pudimos haber tomado al revés y aun así se cumple, por lo que se prueba la segunda igualdad en el caso en el que $f=1_C$ y facilmente se extiende para $f=\sum_k c_k 1_{A_k}$ y gracias que si $f\ge 0$ existe una sucesión de funciones simples tales que $\mu\otimes \nu f=\lim_n \mu\otimes \nu f_n$, en el caso general solo se utiliza la expresión $f=f^{+}+f^{-}$ con la restricción de que cuando $\mu f(s,\cdot)=\infty $ $s$ pertenezca a un conjunto de medida cero al igual que con $\nu f(\cdot,t)= \infty$ sea con $t$ en un conjunto de medida cero.
$\Box $
A la medida definida en el teorema $\mu\otimes\nu$ se le llama mediad producto. Este teorema tiene importantes implicaciones en la teoria de la probabilidad como los dos siguientes que son consecuencia directa de este:
Teorema 3:
Sean $X_1,...,X_n$ elementos aleatorios con distribuciones $\mu_1,...\mu_n$ en algún espacio medible $S_1,...S_n$. Entonces $X_k$ son independientes si y solo si $X=(X_1,...,X_n)$ tiene distribución $\mu_1\otimes\cdot\cdot\cdot\otimes\mu_n$.
Teorema 4:
Sean $X$ y $Y$ dos elementos aleatorios independientes en dos espacios $S$ y $T$ y sea una función medible $f:S\times T \rightarrow \mathbb{R}$ con $\mathbb{E}(\mathbb{E}|f(s,Y)|)_{s=X}\le \infty$ entonces $\mathbb{E}(f(X,Y))=\mathbb{E}(\mathbb{E}(f(s,Y))_{s=X}$
Este teorema tiene su aplicación directa al calculo de integrales cuando hablamos de la medida de Lebesgue unica definida sobre la recta real $\lambda[a,b]=b-a$ y su versión d-dimensional es $\lambda\otimes\cdot\cdot\cdot \otimes\lambda=\lambda^{\otimes d}$ Entonces ahora podemos considerar funciones medibles $f:\mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}$ y calcular $\lambda^{\otimes d} f$, en el caso de $d=2$ tenemos el conocido teorema de fubini del calculo vectorial: $$ \int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)$$
Teorema 3:
Sean $X_1,...,X_n$ elementos aleatorios con distribuciones $\mu_1,...\mu_n$ en algún espacio medible $S_1,...S_n$. Entonces $X_k$ son independientes si y solo si $X=(X_1,...,X_n)$ tiene distribución $\mu_1\otimes\cdot\cdot\cdot\otimes\mu_n$.
Teorema 4:
Sean $X$ y $Y$ dos elementos aleatorios independientes en dos espacios $S$ y $T$ y sea una función medible $f:S\times T \rightarrow \mathbb{R}$ con $\mathbb{E}(\mathbb{E}|f(s,Y)|)_{s=X}\le \infty$ entonces $\mathbb{E}(f(X,Y))=\mathbb{E}(\mathbb{E}(f(s,Y))_{s=X}$
Este teorema tiene su aplicación directa al calculo de integrales cuando hablamos de la medida de Lebesgue unica definida sobre la recta real $\lambda[a,b]=b-a$ y su versión d-dimensional es $\lambda\otimes\cdot\cdot\cdot \otimes\lambda=\lambda^{\otimes d}$ Entonces ahora podemos considerar funciones medibles $f:\mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}$ y calcular $\lambda^{\otimes d} f$, en el caso de $d=2$ tenemos el conocido teorema de fubini del calculo vectorial: $$ \int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)$$
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