Las pruebas de bondad de ajuste consisten en comparar nuestra función de distribución empírica F_n generada por nuestros datos, y una función de distribución cualesquiera F_0, y contrastaremos hipótesis del estilo: H_0:F=F_0,\quad H_1:F\neq F_0 Donde F es la distribución real de nuestros datos.
Consideremos una m.a. X_1,X_2,...,X_n, de la cual definimos nuestra función de distribución empírica como sigue F_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbb{1}_{\{X_i\le x\}} Es decir a cada dato se le asigna un probabilidad de que ocurra de 1/n, algunas propiedades de utilidad son las siguientes:
1. \mathbb{E}(F_n(x))=F(x)=\mathbb{P}(X_1\le x)
2. \sqrt{n} (F_n(x)-F(x))\overset { d }{ \rightarrow } N(0,F(x)(1-F(x)))
3. \underset { x\in \mathbb{R} }{\sup }|F_n(x)-F(x)|\overset { \mathbb{P} }{ \rightarrow } 0
Consideraremos 3 tipos de pruebas que nos darán criterios para aceptar o rechazar nuestras hipótesis.
Consideremos una m.a. X_1,X_2,...,X_n, de la cual definimos nuestra función de distribución empírica como sigue F_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbb{1}_{\{X_i\le x\}} Es decir a cada dato se le asigna un probabilidad de que ocurra de 1/n, algunas propiedades de utilidad son las siguientes:
1. \mathbb{E}(F_n(x))=F(x)=\mathbb{P}(X_1\le x)
2. \sqrt{n} (F_n(x)-F(x))\overset { d }{ \rightarrow } N(0,F(x)(1-F(x)))
3. \underset { x\in \mathbb{R} }{\sup }|F_n(x)-F(x)|\overset { \mathbb{P} }{ \rightarrow } 0
Consideraremos 3 tipos de pruebas que nos darán criterios para aceptar o rechazar nuestras hipótesis.
1.- Kolgomorov-Smirnov
Para esta prueba consideraremos el estadístico D_n=\sqrt{n}\underset { x\in \mathbb{R} }{\sup }|F_n(x)-F_0(x)| El cual esta motivado por las propiedades 1 y 2 de arriba, lo que mide el estadístico es el máximo de la distancia entre la distribución de la hipótesis y la empírica, por lo que nuestra búsqueda sera en D_n's pequeñas, podemos fijar un nivel de confianza, es decir aceptar la hipotesis H_0 si D_n\le c y en otro caso rechazar.
Se puede probar que el estadistico efectivamente no depende de F y que \mathbb{P}(D_n\le t)\rightarrow K(t)=1-2\sum_{i=1}^n (-1)^{i-1}e^{-2i^2 t} Es decir converge en distribución a K -la distribución de Kolgomorov-Smirnov- Gracias a esto podemos calcular de que tamaño son nuestros intervalos \{ D_n\le c \}, si n es lo suficientemente grande \alpha=\mathbb{P}(D_n\ge c | H_0)\approx 1- K(c)
Así es como podremos calcular tamaños computacionalmente, adicionalmete se pueden tabular los valores de K(.) si fuera necesario.
Uso de R
En R haremos uso de la función ks.test() que se alimenta del vector de datos y la función de distribución con la que se quiere comparar. Como en el siguiente ejemplo :
> y<-c(0.3902,0.508,0.9787,0.888,0.1024,
0.6723,0.313605,0.7254,0.9409,0.05277)
> ks.test(y,runif,0,1)
One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: y
D = 0.75171, p-value = 2.304e-06
alternative hypothesis: two-sided
>
En este caso se compara la muestra y con una uniforme (0,1), podemos establecer un p-value y poder contrastar es decir rechazar H_0 si p(X)\le \alpha
2. Cramer-von Mises
Podemos darle otro enfoque en la manera en la que comparamos nuestra distancia entre la distribución teórica y la empírica, en esta prueba se comparará todos los puntos de la curva, nuestro estadístico de prueba es el siguiente; W_n^2=n\int_{-\infty}^{\infty}[F_n(x)-F(x)]^2\varphi (F(x)) dF(x) donde \varphi (x)\ge 0.
La función \varphi nos ayudara a ponderar ciertas regiones de la función de acumulación donde tenemos mas interés en estimar de mejor manera, el caso de Cramer-von Mises se dará igual importancia a cualquier región por lo que \varphi(x)=1, así nuestro estadistico de prueba es: \omega_n^2=n\int_{-\infty}^{\infty}[F_n(x)-F(x)]^2 dF(x)
La expresión no se ve nada agradable, pero puede ser aproximada de la siguiente manera: \omega_n^2=\sum_{i=1}^{n}[F(x)-\frac{2i-1}{2n}]^2+\frac{1}{12n} Obviamente se rechazarán valores grandes de \omega_n^2
Uso de R
Se usa el paquete goftest y de ahi la función cvm.test, su uso es analogo al de ks.test.
> y<-c(0.3902,0.508,0.9787,0.888,0.1024,
0.6723,0.313605,0.7254,0.9409,0.05277)
> cvm.test(y,runif,0,1)
Cramer-von Mises test of goodness-of-fit
Null hypothesis: distribution ‘runif’
data: y
omega2 = 0.1048, p-value = 0.5706
> cvm.test(y,runif,0,1)
Cramer-von Mises test of goodness-of-fit
Null hypothesis: distribution ‘runif’
data: y
omega2 = 0.1048, p-value = 0.5706
Como vemos esta prueba es mas rigurosa que k-s.
3. Anderson-Darling
En este caso \varphi (x)=\frac{1}{x(1-x)}, es de esta manera pues en los valores cercanos a 0 y 1 se tiene una mayor ponderación, así se le da mayor importancia a los valores de las colas.
Nuestro estadístico de prueba será el siguiente A_n^2=n\int_{-\infty}^{\infty}\frac{[F_n(x)-F(x)]^2}{F(x)(1-F(x))}dF(x) afortunadamente igual podrá se aproximado de la siguiente manera: A_n^2=-n-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (2i-1)[\log u_{(i)} -\log (1-u_{(n-j+1)}] Donde F(x_{(i)})=u_{(i)}. Igualmente nos interesan valores pequeños de A_n^2 por lo que se rechazarán los grandes.
Uso de R
Del paquete goftest se usa la función ad.test y se usa de igual forma que las anteriores:
> y<-c(0.3902,0.508,0.9787,0.888,0.1024,
0.6723,0.313605,0.7254,0.9409,0.05277)
> ad.test(y,runif,0,1)
Anderson-Darling test of goodness-of-fit
Null hypothesis: distribution ‘runif’
data: y
An = 0.99798, p-value = 0.3561
> ad.test(y,runif,0,1)
Anderson-Darling test of goodness-of-fit
Null hypothesis: distribution ‘runif’
data: y
An = 0.99798, p-value = 0.3561
Gracias por su visita
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