Una variable aleatoria es una función y tiene sentido hablar de la convergencia de una sucesión X_1,...,X_n es decir \lim_{n \rightarrow \infty}X_n =Y pero resulta que hablando desde el punto de vista probabilista esto la mayoria del tiempo no tiene mucha fuerza o no se obtienen los resultados esperados, por ello utilizamos distintos tipos de convergencia
Definición 1: Decimos que una secuencia de v.a. (X_n)_{n\geq 1} converge casi seguramente a la variable aleatoria X si \mathbb{P}(\left\{ \omega : \lim_{n \rightarrow \infty} X_n (\omega)\neq X(\omega) \right\})=0
Definición 2: Una secuencia de v.a. (X_n)_{n\geq 1} converge en L^p a X si |X_n|, |X|\in L^p, y \lim_{n \rightarrow \infty}\mathbb{E}\left\{|X_n-X|^p \right\}=0
Definición 3: Una secuencia de v.a. (X_n)_{n\geq 1} converge en probabilidad a X si para todo \varepsilon >0 tenemos que \lim_{n \rightarrow \infty}\mathbb{P}(\left\{\omega: |X_n(\omega)-X(\omega)|>\varepsilon \right\})=0
Estos son los tipos de convergencia mas fuertes y entre ellos se relacionan con los siguientes teoremas
Teorema 1: Sea (X_n)_{n\ge 1} una sucesión de v.a.
1) Si { X }_{ n }\overset { { L }^{ p } }{ \rightarrow } X entonces { X }_{ n }\overset { P }{ \rightarrow } X
2) Si \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { X }_{ n } } \overset { c.s. }{ = } X entonces { X }_{ n }\overset { P }{ \rightarrow } X .
Esto significa que la convergencia casi segura y en L^p son las mas fuertes pues implican la convergencia en probabilidad, para la otra implicación se requiere de un poco mas de hipotesis.
Teorema 2: Supongamos que { X }_{ n }\overset { P }{ \rightarrow } X Entonces existe una subsucesion n_k tal que \lim _{ k\rightarrow \infty }{ { X }_{ n_k } } \overset { c.s. }{ = } X.
Teorema 3: Supongamos que { X }_{ n }\overset { P}{ \rightarrow } X y que |X_n|\leq Y para toda n y Y\in L^p, entonces |X|\in L^p y { X }_{ n }\overset { { L }^{ p } }{ \rightarrow } X.
Sin embargo existe otro tipo de convergencia que es mas debil, pues se trata de las suscesiones de medidas de probabilidad inducidas por cada v.a. X_n
Definición 4: Sea \mu_n y \mu medidas de probabilidad en \mathbb{R}^d, la secuencia \mu_n converge débilmente a \mu si \int f(x)\mu_n(dx) converge a \int f(x)\mu(dx) para toda f continua y acotada en \mathbb{R}^d
Pero nuestro interés es en las v.a. por lo tanto hay una definicón equivalente para las medidas de probabilidad inducidas por las v.a. es decir \mathbb{P}(X\leq x)=\mathbb{P}^X(x)
Definición 5: Sean (X_n)_{n\ge 1}, X v.a. de \mathbb{R}^d, decimos que X_n converge en distribución a X si \mathbb{P}^{X_n} converge débilmente a \mathbb{P}^X.
Este par de definiciones las podemos unir en un teorema que hace las cosas más sencillas
Teorema 4: Sean (X_n)_{n\ge 1}, X v.a. de \mathbb{R}^d entonces X_n converge en distribución a X si y solo si \lim _{ k\rightarrow \infty }\mathbb{E}\left\{ f(X_n) \right\} =\mathbb{E}\left\{ f(X) \right\}
Por ultimo para unir los 3 primeros tipos de convergencia con este ultimo tenemos un teorema que convergencia en distribución y en probabilidad
Teorema 5: Sean (X_n)_{n\ge 1} y X v.a. definidas en un mismo espacio de probabilidad (\Omega,\mathcal{A}, \mathbb{P}). Si X_n converge a X en probabilidad, entonces X_n converge a X en probabilidad.
De esta manera la convergencia en distribución es la mas débil que tenemos.
Bibliografia: Jean Jacod y Philip Protter, Probability Essentials, Springer, 2004
Esto significa que la convergencia casi segura y en L^p son las mas fuertes pues implican la convergencia en probabilidad, para la otra implicación se requiere de un poco mas de hipotesis.
Teorema 2: Supongamos que { X }_{ n }\overset { P }{ \rightarrow } X Entonces existe una subsucesion n_k tal que \lim _{ k\rightarrow \infty }{ { X }_{ n_k } } \overset { c.s. }{ = } X.
Teorema 3: Supongamos que { X }_{ n }\overset { P}{ \rightarrow } X y que |X_n|\leq Y para toda n y Y\in L^p, entonces |X|\in L^p y { X }_{ n }\overset { { L }^{ p } }{ \rightarrow } X.
Sin embargo existe otro tipo de convergencia que es mas debil, pues se trata de las suscesiones de medidas de probabilidad inducidas por cada v.a. X_n
Definición 4: Sea \mu_n y \mu medidas de probabilidad en \mathbb{R}^d, la secuencia \mu_n converge débilmente a \mu si \int f(x)\mu_n(dx) converge a \int f(x)\mu(dx) para toda f continua y acotada en \mathbb{R}^d
Pero nuestro interés es en las v.a. por lo tanto hay una definicón equivalente para las medidas de probabilidad inducidas por las v.a. es decir \mathbb{P}(X\leq x)=\mathbb{P}^X(x)
Definición 5: Sean (X_n)_{n\ge 1}, X v.a. de \mathbb{R}^d, decimos que X_n converge en distribución a X si \mathbb{P}^{X_n} converge débilmente a \mathbb{P}^X.
Este par de definiciones las podemos unir en un teorema que hace las cosas más sencillas
Teorema 4: Sean (X_n)_{n\ge 1}, X v.a. de \mathbb{R}^d entonces X_n converge en distribución a X si y solo si \lim _{ k\rightarrow \infty }\mathbb{E}\left\{ f(X_n) \right\} =\mathbb{E}\left\{ f(X) \right\}
para toda f continua y acotada en \mathbb{R}^d.
Por ultimo para unir los 3 primeros tipos de convergencia con este ultimo tenemos un teorema que convergencia en distribución y en probabilidad
Teorema 5: Sean (X_n)_{n\ge 1} y X v.a. definidas en un mismo espacio de probabilidad (\Omega,\mathcal{A}, \mathbb{P}). Si X_n converge a X en probabilidad, entonces X_n converge a X en probabilidad.
De esta manera la convergencia en distribución es la mas débil que tenemos.
Bibliografia: Jean Jacod y Philip Protter, Probability Essentials, Springer, 2004
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