Teorema de la Clase Monótona

En teoría de la probabilidad es necesario echar mano de estructuras mas simples que una $\sigma$-álgebra, el teorema de las clases monótonas es muy útil ya que nos permite extender una propiedad de un estructura simple de una clase $\mathcal{C}$ a su $\sigma$-álgebra generada es decir $\sigma(\mathcal{C})$

En este caso vamos a usar un par de clases de conjuntos $\pi$-sistemas y $\lambda$-sistemas

Definición 1
Una familia de subconjntos de $S$ se llama $\pi$-sistema si es cerrado bajo intersecciones finitas

Definición 2
Si $\mathscr{D}$ es una familia de subconjuntos de $S$, esta se llama $\lambda$-sistema si
1) $S\in\mathscr{D}$
2) Si $A,B\in\mathcal{\mathscr{D}}$ y $A\subset B$ entonces $B\backslash A\in\mathscr{D}$
3) Si $(A_{n})_{n\geq1}\subset\mathscr{D}$ y $A_{n}\nearrow A$ entonces $A\in\mathscr{D}$

Y solo como nota, pongo la definición de $\sigma$-álgebra

Definición 0
Si $\mathscr{F}$ es una familia de subconjuntos de $S$, esta se llama $\sigma$-álgebra si
1) $S\in\mathscr{F}$
2) Si $F\in\mathscr{F}$ entonces $S\backslash F\in\mathscr{F}$
3) Si $(A_{n})_{n\geq1}\subset\mathscr{F}$ entonces ${\bigcup}_{n=1}^{\infty}A_{n}\in\mathscr{F}$

Lo que el teorema afirma es que

TEOREMA DE LA CLASE MONÓTONA
Sea $\mathcal{C}$ un $\pi$-sistema y $\mathcal{D}$ un $\lambda$-sistema en algún espacio $\Omega$ tal que $\mathcal{C}\subset\mathcal{D}$. Entonces $\sigma(\mathcal{C})\subset \mathcal{D}$

DEMOSTRACIÓN

Primero notemos que $\mathcal{D}=\lambda(\mathcal{C})$ ($\sigma(\mathcal{C})$ es el mínimo $\lambda$-sistema generado por $\mathcal{C}$) ya que $\mathcal{D}$ es un $\lambda$-sistema que incluye a $\mathcal{C}$ y por otro lado $\lambda(\mathcal{C})\subset \lambda(\mathcal{D})=\mathcal{D}$. Para la prueba solo basta demostrar que $\mathcal{D}$ es un $\pi$-sistema, ya que de esa manera $\mathcal{D}$ seria una $\sigma$-álgebra que contiene a $\mathcal{C}$ y se sigue que $\sigma(\mathcal{C})\subset \mathcal{D}$. 
Entonces tenemos que mostrar que $A\cap B \in \mathcal{D}$ dado que $A, B \in \mathcal{D}$,
 esta propiedad se cumple claramente si $A, B \in \mathcal{C}$ ya que $\mathcal{C}$ es un $\pi$-sistema, para el caso mas general definamos para cada conjunto $B\in \mathcal{C}$ definimos $\mathcal{A}_B=\{A \subset \Omega:A\cap B \in \mathcal{D}\}$, usando la definición (1) es fácil ver que es un $\lambda$-sistema y también tiene la característica de que incluye a $\mathcal{C}$ por lo tanto $\mathcal{D}\subset \mathcal{A}_B$, esto demuestra que $A\cap B\in \mathcal{D}$ si $A\in\mathcal{D}$ y $B\in\mathcal{C}$. Ahora para cada conjunto $A\in \mathcal{D}$ definimos $\mathcal{B}_A=\{B \subset \Omega:A\cap B \in \mathcal{D}\}$, también resultará que $\mathcal{B}_A$ es un $\lambda$-sistema que contiene a $\mathcal{C}$ asi, $\mathcal{D}\subset \mathcal{B}_A$, por lo tanto $\mathcal{D}$ es un $\pi$-sistema y a su ves una $\sigma$-álgebra que contiene a $\mathcal{C}$. Por lo tanto $\sigma(\mathcal{C})\subset \mathcal{D}$. 

Este resultado nos permitirá tener una propiedad $\mathcal{E}$ que se cumple en un $\pi$-sistema esta propiedad prodrá ser extendida a algún $\sigma$-álgebra.

Fuente
Kallenberg, Olav. Foundations of modern probability. Springer (1997)