Ecuación Diferencial Homogénea de Coeficientes Constantes

El propósito de este este post será exhibir la solución general de la ecuación diferencial homogénea de coeficientes constantes, en la teoría de las ecuaciones diferenciales es uno de los pocos ejemplos en donde se puede encontrar un conjunto de soluciones en general.

La ecuación diferencial homogénea de coeficientes constantes general es de la siguiente forma
$$\sum_{k=0}^{n}c_k y^{(k)}=0$$
Primero consideremos al espacio vectorial complejo de las funciones con derivadas de todos los ordenes
$$V=\{ y:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}: \frac{d^n y}{dx^n}\quad  existe \quad n\in\mathbb{N} \}$$
Y definimos el operador $D:V\rightarrow V$ tal que  $Dy=\frac{d y}{dx}$, como es un operador tiene sentido hablar de $D^2$ y mas en general de $D^k$ (Notese que $D^0=I$. Ahora consideramos el polinomio $p(t)=\sum_{k=0}^{n}c_k t^{k}$, y ahora nuestra ecuación se simplifica a que $p(D)y=0$ (ya que el polinomio de operadores es de nuevo un operador).

Ahora nuestro problema se resuelve recordando que un polinomio de grado $n$ se anula exactamente en $n$ valores complejos no necesariamente diferentes, y que es posible expresarlo como un producto de la forma $t-c$ donde $c$ es una raíz del polinomio.
Supongamos que nuestro polinomio $p$ tiene $s$ raíces distintas, cada una de ellas con multiplicidad $m_j$ (con $\sum_{j=1}^{s}m_j=n$) entonces nos es posible escribir $p$ de la siguiente forma
$$p(t)=(t-c_1)^{m_1} (t-c_2)^{m_2} ...(t-c_s)^{m_s}=\prod_{j=1}^{s}(t-c_j)^{m_j} $$
Ahora evaluando nuestro polinomio en $D$ (los productos que se muestran en realidad son una composición de operadores)
$$p(D)y=\prod_{j=1}^{s}(D-c_jI)^{m_j}y=0$$
Para que ese producto sea cero tiene que ocurrir que al menos un elemento sea cero es decir $(D-c_j I)^{m_j}y=0$ para alguna $j$, el problema se a resolver $(D-cI)^ny=0$.
La solución de esa ecuación es posible a la siguiente igualdad
$$(D-cI)^ny=e^{cx}D^n(e^{-cx}y)$$
Esta igualdad es fácil probarla por inducción y nos permite encontrar las $n$ soluciones linealmente independientes de $(D-cI)^ny=e^{cx}D^n(e^{-cx}y)0$ que son las funciones dadas en el conjunto $\{ e^{cx},xe^{cx},x^2e^{cx},...,x^{n-1}e^{cx}\}$ el lector puede comprobarlo de manera muy visual.
Regresando a nuestro problema original, nuestros productos eran de la forma $(D-c_j I)^{m_j}y=0$ por lo tanto la solución esta dada por los $s$ conjuntos

$\{ e^{c_1x},xe^{c_1x},x^2e^{c_1x},...,x^{m_1-1}e^{c_1x}\}$

$\{ e^{c_2x},xe^{c_2x},x^2e^{c_2x},...,x^{m_2-1}e^{c_2x}\}$

$\vdots$

$\{ e^{c_sx},xe^{c_sx},x^2e^{c_sx},...,x^{m_s-1}e^{c_sx}\}$

Teniendo así $n$ soluciones linealmente independientes. Resolver ecuaciones de este tipo sera equivalente a nuestra habilidad de encontrar las raíces de un polinomio.
Ejemplos:
$y^{(5)}-6y^{(4)}-8y'''+48y''+16y'-96y=0$
$y'''+y''-y=0$
$y'''-y=0$
$y^{(4)}+2a^2y''+a^4y=0$