Álgebra Multilineal

Álgebra Multilineal, puede que sea aun mas abstracta pero sirve para dar definiciones mas generales en el calculo en variedades en particular para las formas diferenciales. Esta publicación sera exclusivamente para ciertas definiciones básicas del álgebra mutlilineal, los teoremas que se enuncian solo son para mostrar los resultados listos para ser usados en teoremas de otra rama.
Como en varias ramas de la matemática siempre se tiene una generalización, en algunos casos es mucho mas abstracta, en caso del álgebra lineal tenemos el

Definición
Sea $V$ un espacio vectorial y $V^k=V\times... \times V$ el espacio de las $k$ vectores ordenados $(v_1,...,v_k)$ con $v_i\in V$ la función $f:V^k \rightarrow \mathbb{F}$ es lineal en la i-esima variable si para los vectores $v_j$ con $i\neq j$ la función $T:V \rightarrow \mathbb{F}$ definida por $$T(v)=f(v_1,...,v_{i-1},v,v_{i+1},...,v_k)$$ es lineal. Se dice que la función $f$ es multilineal si es lineal en todo $i=1,2....,k$

De la definición notamos que es una generalización de los funcionales, estas funciones también son llamados k-tensores (un funcional seria un 1-tensor), el espacio de todos los k-tensores se  denota con $\mathscr{L}^k(V)$ y forma un espacio vectorial con la suma y producto usual de números reales, la dimensión de este espacio es $n^k$.

Podemos conectar varios espacios $\mathscr{L}^k(V)$, definiendo el producto tensorial.

Definición
Sea $f\in \mathscr{L}^k(V)$ y $g\in \mathscr{L}^l(V)$ entonces se define el (k+l)-tensor $f\otimes g \in \mathscr{L}^{k+l}(V)$ como
$$(f\otimes g)(v_1,...,v_{k+l})=f(v_1,...,v_k)g(v_{k+1},...,v_{k+l})$$
Como teorema tenemos las propiedades que cumple el producto tensorial
a) $f\otimes (g\otimes h)=(f\otimes g)\otimes h$
b) $(cf)\otimes g=c(f\otimes g)=f\otimes (cg)$
c) $(f+g)\otimes h=f\otimes h +g\otimes h$
    $h\otimes (f+g)=h\otimes f + h\otimes g$
Dadas estas propiedades ya es mas sencillo mostrar una base para  $\mathscr{L}^k(V)$, si $\alpha_1,..., \alpha_n$ es una base de $V$ y su base dual (del espacio dual $V^*=\mathscr{L}^1(V)$ ) es el conjunto de los $\phi(\alpha_i)=\delta_{ij}$ con $i=1,2,...,n$ Entonces el producto de los tensoriales de k elementos
$$\phi_{i_1} \otimes \phi_{i_2} \otimes \cdots \otimes \phi_{i_k}$$
con $i_j=1,2...,n$ es una base de $\mathscr{L}^k(V)$.
Cualquier k-tensor puede ser escrito como
$$f=\sum _{1\le i_1,...,i_k \le n} f(\alpha_{i_1},...,\alpha_{i_k})\phi_{i_1} \otimes \phi_{i_2} \otimes \cdots \otimes \phi_{i_k}$$
Del espacio espacio $\mathscr{L}^k(V)$ hay un subespacio de k-tensores de interes, estos son los tensores alternantes.
Si $\sigma$ es una permutación de ${1,...,k}$ definimos $f^{\sigma}$ como $f^{\sigma}(v_1,...,v_n)=f(v_{\sigma(1)},...,v_{\sigma(k)})$
 Es decir cambiamos el orden de los vectores a los que se aplica el tensor. Recordemos que una permutación puede ser escrita como composición de permutaciones elementales $e_j$, se dice que un k-tensor es alternante si $f^e(v_1,...,v_n)=-f(v_1,...,v_n)$ para cualquier permutación $e$ elemental, es decir si solo cambiamos un vector de posición cambia el signo del k-tensor.
Se forma un subespacio si consideramos a todos los k-tensores alternantes y las operaciones (+,*), a ese subespacio lo denotamos por $\Lambda^{k}(V)$
Para encontrar una base y su dimensión es mas facil primero considerar el siguiente producto tensorial $\wedge$ llamado producto exterior, este producto es analogo a $\otimes$ ya que relaciona dos espacios $\Lambda^{k}(V)$, $\Lambda^{l}(V)$ en uno solo $\Lambda^{k+l}(V)$. La existencia de tal operador la da el siguiente teorema

Teorema
Sea $V$ un espacio vectorial, Existe una operación que asigna a cada $f\in \Lambda^k (V)$ y cada elemento $g\in \Lambda^l (V)$, un elemento $f\wedge g \in \Lambda^{k+l} (V)$ que cumple las siguientes propiedades.
a) $f\wedge (g\wedge h)=(f\wedge g)\wedge h$
b) $(cf)\wedge g=c(f\wedge g)=f\wedge (cg)$
c) $(f+g)\wedge h=f\wedge h +g\wedge h$
    $h\wedge (f+g)=h\wedge f+ h\wedge g$
d) $f\wedge g=(-1)^{kl}g\wedge f$

Para demostrar el teorema se hace uso de la transformación lineal $Alt:\mathscr{L}^k(V)\rightarrow \mathscr{L}^k(V)$ que convierte cualquier k-tensor en alternante que esta definida por $Alt(f)=\sum_{\sigma \in S_k}sgn(\sigma)f^{\sigma}$
Y definimos el producto exterior como
$$f\wedge g=\frac{1}{k!l!}Alt(f\otimes g)$$
Las propiedades se demuestran directamente desarrollando,  ahora ya podemos dar de manera muy similar que con $\mathscr{L}^k(V)$ una base para $\Lambda^{k}(V)$, usando los mismos $\phi_{i_j}$ de la base anterior entonces
$$\phi_{i_1} \wedge \phi_{i_2} \wedge \cdots \wedge \phi_{i_k}$$ con $1\le i_1<i_2<...<i_k\le n$ es una base de $\Lambda^{k}(V)$, como solo se tienen en la base tantos elementos como formas de agrupar los $i_j$ de $k$ maneras distintas $dim(\Lambda^{k}(V))={n \choose k}$

Para concluir consideremos el espacio $\Lambda^{n}(\mathbb{R}^n)$, su dimensión es ${n \choose n}=1$, por lo tanto su unico elemento de la base es $\phi_{1} \wedge \phi_{2} \wedge \cdots \wedge \phi_{n}$, $\phi_i$ son la base dual con respecto a la base canónica de $\mathbb{R}^n$, podemos definir la función multilineal (n-tensor) $det$. Si $X=[x_1,...,x_n]$ con $x_i\in \mathbb{R}^n$ $$detX=\omega \phi_{1} \wedge \phi_{2} \wedge \cdots \wedge \phi_{n}(x_1,...,x_n)$$
con $\omega\in\mathbb{R}$ Este es el unico n-tensor en $\mathbb{R}^n$.

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