Formula de Taylor de segundo orden para campos escalares

Tenemos la formula de Talyor para campos escalares $$f(a+y)-f(a)=\nabla f(a) \cdot y + \left\| y \right\|E(a,y) $$
El termino $\left\| y \right\|E(a,y)$ es el error cometido donde $E(a,y)\rightarrow 0$ cuando $y\rightarrow 0$, el siguiente teoerma nos muestra que se puede determinar con la siguiente expresión $$\frac{1}{2}\sum _{ i=1 }^{ n }{ \sum _{ j=1 }^{ n }{ { D }_{ ij }f(a){ y }_{ j }{ y }_{ i } }  } $$ Esto se puede ver como el producto de de 3 matrices, para ello definimos la matriz de las segundas derivadas parciales, le llamamos matriz Hessiana $H(x)=[D_{ij}f(x)]_{i,j}^{n}$ o en su versión extendida $$H(x)=\begin{bmatrix}{D}_{11}f(x) & {D}_{12}f(x) & ... & {D}_{1n}f(x)\\
{D}_{21}f(x) & {D}_{22}f(x) & ... & {D}_{2n}f(x)\\
\vdots & ... & \ddots & \vdots\\
{D}_{n1}f(x) & {D}_{n1}f(x) & ... & {D}_{nn}f(x)
\end{bmatrix}$$
Si pensamos al vector $y$ de la dirección como una matriz de $1 \times n$ definida por sus coordenadas $y=[y_1 \quad y_2 \quad ... \quad y_n]$ y su transpuesta $y^t=\left[\begin{array}{c}y_{1}\\y_{2}\\\vdots\\y_{n}\end{array}\right]$  con el producto de matrices tenemos que $$yH(x)y^t=\sum _{ i=1 }^{ n }{ \sum _{ j=1 }^{ n }{ { D }_{ ij }f(a){ y }_{ j }{ y }_{ i } }  } $$

Teorema (Fórmula de Taylor de segundo orden para campos escalares)
Si f es un campo escalar con derivadas parciales segundas $D_{ij}f$ continuas en la bola $B(a,r)$ entonces para todo $y$ de \mathbb{R}^{n} tal que $a+y\in B(a,r)$ tenemos $$f(a+y)-f(a)=\nabla f(a) \cdot y + \frac{1}{2!}yH(a+cy)y^t \quad 0<c<1$$ Puede escribirse de tambien de la forma $$f(a+y)-f(a)=\nabla f(a) \cdot y +\frac{1}{2!}yH(a)y^t + {\left\| y \right\|}^2E_2(a,y)$$ en donde $E_2(a,y)\rightarrow 0$ cuando $y\rightarrow 0$ 

DEMOSTRACIÓN 

Definimos la funcion $g$ como una función real de variable real $$g(h)=f(a+hy)\quad -1\leq h \leq 1$$ Notemos que $f(a+y)-f(a)=g(1)-g(0)$ podemos utlizar el polinomio de Taylor de funciones reales que ya conocemos tendriamos que $$g(1)-g(0)=g'(0)+E(1)$$ La forma del residuo de Lagrange nos dice que $$E_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\quad c\in(a,x)$$ En nuestro caso $a=0$ y $x=1$ asi nos queda que $$g(1)-g(0)=g'(0)+\frac{1}{2!}g''(c) \quad c\in(0,1)$$
Si definimos quien es $g'(0)$ y $g''(c)$ podremos demostrar el teorema.
Definimos a $a+hy=r(h)$ para ver mas claro que $g(h)=f[r(h)]$ calculamos la derivada de $r$ y obtememos $r'(h)=y$ aplicamos la regla de la cadena $$g'(h)=\nabla f[r(h)]\cdot r'(h)=\nabla f[r(h)]\cdot y = \sum _{ j=1 }^{ n }{ { D }_{ j }f(a+hy){ y }_{ j } } $$ De eso ya notamos que $g'(0)=\nabla f(a) \cdot y$ Volviendo a aplicar la regla de la cadena podemos obtanar $g''(h)$ pero primero desarrollamos la primer derivada $$g'(h)=D_1 f[r(h)]y_1+D_2 f[r(h)]y_2+...D_n f[r(h)]y_n$$ Volviendo a aplicar la regla de la cadena $$g''(h)=\nabla D_1 f[r(h)]y_1 \cdot y+\nabla D_2 f[r(h)]y_2 \cdot y+...+\nabla D_n f[r(h)]y_n \cdot y $$ $$=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { D }_{ i }{ D }_{ 1 }f[r(h)]{ y }_{ 1 }{ y }_{ i } } +\sum _{ i=1 }^{ n }{ { D }_{ i }{ D }_{ 2 }f[r(h)]{ y }_{ 2 }{ y }_{ i } } +...+\sum _{ i=1 }^{ n }{ { D }_{ i }{ D }_{ n }f[r(h)]{ y }_{ n }{ y }_{ i } } $$$$g''(h)=\sum _{ j=1 }^{ n }{ \sum _{ i=1 }^{ n }{ { D }_{ i }{ D }_{ j }f[r(h)]{ y }_{ j }{ y }_{ i } }  } =yH(r(h))y^t$$ Particularmente si evaluamos en c $$g''(c)=yH(a+cy)y^t$$ Y transformamos la ecuación $$g(1)-g(0)=g'(0)+\frac{1}{2!}g''(c)$$ En $$f(a+y)-f(a)=\nabla f(a) \cdot y + \frac{1}{2!}yH(a+cy)y^t$$ Esto demuestra la primer parte del teoerma, la segunda parte queda comprobar que el residuo tienede a $0$ cuando $y$ tiende a $0$, proponemos lo siguiente $$\frac{1}{2!}yH(a)y^t + {\left\| y \right\|}^2E_2(a,y)=\frac{1}{2!}yH(a+cy)y^t$$ Por lo tanto $${\left\| y \right\|}^2E_2(a,y)=\frac{1}{2!}y\left\{H(a-cy)-H(a)\right\}y^t$$ Regresando a las sumas y tomando valores absolutos tenemos que $${\left\| y \right\|}^2|E_2(a,y)|=\frac{1}{2}\\ \left| \sum _{ i=1 }^{ n }{ \sum _{ j=1 }^{ n }{ \{ { D }_{ ij }f(a+cy)-{ D }_{ ij }f(a)\} { y }_{ i }{ y }_{ j } }  }  \right|  $$Aplicando desigualdad del triangulo $${\left\| y \right\|}^2|E_2(a,y)|\le\frac{1}{2}\sum _{ i=1 }^{ n }{ \sum _{ j=1 }^{ n }{|{ D }_{ ij }f(a+cy)-{ D }_{ ij }f(a)| {\left\| y \right\|}^2}  }   $$
$$|E_2(a,y)|\le\frac{1}{2}\sum _{ i=1 }^{ n }{ \sum _{ j=1 }^{ n }{|{ D }_{ ij }f(a+cy)-{ D }_{ ij }f(a)|}}$$ Como f es continua entonces la parte de la derecha tiende a $0$ cuando $y$ tiende a $0$ por lo tanto se cumple el teorema.