Teorema Fundamental de la Aritmética

Este teorema puede que se los hayan mencionado desde que se estudia lo mas básico de la aritmética, en la secundaria, pero visto de una manera formal nos da como consecuencia muchas propiedades de los números enteros, la demostración es sencilla y utiliza simplemente la definición de un numero primo.

$$TEOREMA\quad FUNDAMENTAL\quad DE\quad LA\quad ARITMETICA\\ Para\quad todo\quad a\quad entero\quad distinto\quad de\quad \pm 1\quad se\quad puede\quad expresar\\ de\quad la\quad forma\quad a=\pm { p }_{ 1 }{ p }_{ 2 }...{ p }_{ n }\neq 0\quad donde\quad { p }_{ j }\quad j=1,2,..,n\quad es\quad un\quad primo\quad \\ positivo,\quad ademas\quad la\quad factorización\quad es\quad unica$$

DEMOSTRACIÓN

Demostraremos directamente que no existe un entero $b$ que no pueda expresarse como un producto de primos entonces definamos $A$ como el conjunto de los números enteros que no pueden espesarse  como producto de primos entonces ha que demostrar que $ A=\emptyset $, Supongamos entonces que $A\neq \emptyset $, por el principio del buen orden A debe de tener un elemento mínimo $x$ si x fuera primo entoces podemos decir que $x=(1)({ p }_{ j })$ lo que contradice que $x\in A$ entonces $x$ no es es un primo por lo tanto existen $x$ y $y$ tales que:

$$x=zy\quad tal\quad que\quad 1<z<x\quad 1<y<x\quad $$

Entonces $z$ y $y$ no pertenecen a $A$ entoces pueden expresarse de la siguiente manera: $z={ p }_{ 1 }{ p }_{ 2 }{ ...p }_{ m }$ y $y={ q }_{ 1 }{ q }_{ 2 }...{ q }_{ r }$ por lo tanto 

$$x={ p }_{ 1 }{ p }_{ 2 }{ ...p }_{ m }{ q }_{ 1 }{ q }_{ 2 }...{ q }_{ r }$$

Esto es una contradicción ya que suponíamos que no era un producto de primos se puede concluir que $A= \emptyset $

Para demostrar la unicidad de los primos supongamos que hay dos maneras de expresarlo 

$$x={ p }_{ 1 }{ p }_{ 2 }{ ...p }_{ m }\\ x={ q }_{ 1 }{ q }_{ 2 }...{ q }_{ r }$$

Por lo que ${ p }_{ 1 }{ p }_{ 2 }{ ...p }_{ m }={ q }_{ 1 }{ q }_{ 2 }...{ q }_{ r }$ esto nos dice que ${ p }_{ 1 }$ divide a  ${ q }_{ 1 }{ q }_{ 2 }...{ q }_{ r }$ como ${ p }_{ 1 }$ es primo entonces divide  a algun ${ q}_{ j }$ podemos suponer que a ${ q}_{ 1 }$ como ambos son primos entonces ${ p}_{ 1 }={ q}_{ 1 }$ ahora simplificando: ${ p }_{ 2}{ p }_{ 3 }{ ...p }_{ m }={ q }_{ 2 }{ q }_{ 3 }...{ q }_{ r }$ esto lo podemos repetir varias veces hasta que de un lado quede un 1 tal que lo repitamos m veces $1={ q }_{ m+1 }{ q }_{ m+2 }...{ q }_{ r }$ pero esto no es posible ya que los primos son mayores a 0 por lo tanto $m=r$ Esto demuestra la unicidad.

 Otra forma de expresar cualquier entero es que cuando se repitan los primos se pueden poner en forma de potencia: $$x=\pm { p }_{ 1 }^{ { m }_{ 1 } }{ p }_{ 2 }^{ { m }_{ 2 } }...{ p }_{ n }^{ { m }_{ n } }=\pm \prod _{ i=0 }^{ n }{ { p }_{ i }^{ { m }_{ i } } } $$

Por ejemplo:
$$2574=2^{2}7^{4}13^{2}$$

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