Propiedades de una σ-Álgebra

En el calculo de probabilidades se requiere de un espacio de probabilidad el que esta conformado por tres elementos: $\Omega$ un conjunto no vació, $\mathscr{F} $ un σ-Álgebra de subconjuntos de $\Omega$ y $P$ una medida de probabilidad definida en $\mathscr{F} $ $(\Omega,\mathscr{F},P)$.

Por ahora solo vamos a hablar de la σ-Álgebra y una propiedad  sencilla que se deduce de la definición.

$Sea\quad \mathscr{F}\quad un\quad σ-Álgebra\quad de\quad subconjuntos\quad de\quad \Omega \quad entonces:\\ 1.\quad \emptyset \in \mathscr{F}\\ $ $2.\quad Si\quad { A }_{ 1 }{ A }_{ 2 }...\in \mathscr{F},\quad \Rightarrow \bigcap _{ n=1 }^{ \infty  }{ { A }_{ n } } \in \mathscr{F}\\$                  $3.\quad Si\quad A,B\in \mathscr{F}\quad \Rightarrow (A-B)\in \mathscr{F}\quad y\quad (A\triangle B)\in \mathscr{F}$

Para demostrar todas esas propiedades primero necesitamos propiamente la definición de un σ-Álgebra

$DEFINICIÓN.\quad Una\quad coleccion\quad \mathscr{F} \quad de\quad subconjuntos\quad de\quad \Omega \quad es\quad una\quad \sigma -álgebra\quad si\quad cumple\quad lo\quad siguiente:\\1.\quad \Omega \in \mathscr{F} \\ 2.\quad Si\quad A\in \mathscr{F}\quad \Rightarrow \quad { A }^{ c }\in \mathscr{F}\\

3.\quad Si\quad { A }_{ 1 }{ A }_{ 2 }...A\in \mathscr{F}\quad \Rightarrow \bigcup _{ n=1 }^{ \infty }{ { A }_{ n } } \in \mathscr{F}$
También serán útiles las leyes de Morgan, que tal vez sean demostradas en otra publicación
$${ (A\cup B) }^{ c }={ A }^{ c }\cap { B }^{ c }\\ { (A\cap B) }^{ c }={ A }^{ c }\cup { B }^{ c }$$

DEMOSTRACIÓN

1) Sabemos que $\Omega \in \mathscr{F}$ y por la segunda propiedad implica que ${ \Omega  }^{ c }\in \mathscr{F}$ pero ${ \Omega  }^{ c }=\emptyset$ por lo tanto $ \emptyset \in \mathscr{F}$

2) Como ${ A }_{ 1 }{ A }_{ 2 }...\in \mathscr{F}$ entonces por la segunda propiedad que los complementos de cada ${A}_{i}$ deben estar contenidos en $\mathscr{F}$ esto implica que ${ A }_{ 1 }^{ c }{ A }_{ 2 }^{ c }...\in \mathscr{F}$ y por la tercer propiedad que $\bigcup _{ n=1 }^{ \infty  }{ { A }_{ n }^{ c } } \in \mathscr{F}$ ahora utilizando las leyes de Morgan llegamos finalmente a que esa unión puede verse como la intersección de los complementos.$\bigcap _{ n=1 }^{ \infty  }{ { A }_{ n } } \in \mathscr{F}$

3) Ya que $A,B\in \mathscr{F}$ entonces ${A}^{c},{B}^{c}\in \mathscr{F}$ esto implica que $A\cap { B }^{ c }\in\mathscr{F}$ pero $A\cap { B }^{ c }=(A-B)$ eso demuestra que $(A-B)\in\mathscr{F}$ para la segunda parte tenemos que $A\cup B\in\mathscr{F}$ y tambien que ${A}^{c}\cup {B}^{c}\in\mathscr{F}$ pero por las leyes de morgan ${(A\cap B) }^{ c }={ A }^{ c }\cup { B }^{ c }$ ahora por lo tanto ${ (A\cap B) }\notin \mathscr{F}$ la definición de diferencia simétrica nos sugiere que $(A\triangle B)=(A\cup B)-(A\cap B)$ y como $(A\cup B)-(A\cap B)\in\mathscr{F} \Rightarrow (A\triangle B)\in\mathscr{F}$ esto demuestra la preposición.
Gracias por su vista, esperamos sus comentarios.