En calculo diferencial de varias variables es necesario usar espacio vectoriales, asimismo es necesario establecer una norma, la forma mas general es la norma ${l}_{p}$ y ${l}_{\infty }$ pero para demostrar que cumplen las propiedades de norma, primero debemos demostrar otros lemas menos importantes y luego abordar la otra demostración.
$$DESIGUALDAD\quad DE\quad H\ddot { O } LDER\quad \\ Sean\quad p,q>0\quad tal\quad que\quad \frac { 1 }{ p } +\frac { 1 }{ q } =1\\ y\quad sean\quad a\in { l }_{ p }\quad y\quad b\in { l }_{ q }\quad \\ \Rightarrow \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \left| { a }_{ n }b_{ n } \right| } \le { (\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { |{ a }_{ n }| }^{ p } } ) }^{ \frac { 1 }{ p } }{ (\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { |b_{ n }| }^{ q } } ) }^{ \frac { 1 }{ q } }$$
A su vez para demostrar la desigualdad de Hölder es necesario demostrar lo siguiente.$$LEMA\\ Si\quad \alpha ,\beta ,\lambda \in \mathbb{R}\quad tales\quad que\quad \alpha ,\beta \ge 0\quad y\quad 0<\lambda <1\\ \Rightarrow \quad { \alpha }^{ \lambda }{ \beta }^{ \lambda -1 }\le \alpha \lambda +(1-\lambda )\beta $$
La demostracion, la hare de una forma muy corta, talvez saltando un poco de detalles, la desigualdad importante es la de Hölder
DEMOSTRACIÓN
Si $\alpha$ y $\beta$ son 0 la desigualdad es trivial, supongamos que $\beta\neq0$ proponemos la funcion $\varphi :[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}\quad \varphi (t)=\lambda t+(1-\lambda )-{ t }^{ \lambda }$ de la que nos interesa observar que $\varphi (t)\ge 0$ derivando tenemos que $\varphi '(t)=\lambda (1-{ t }^{ \lambda -1 })$ notamos que $\varphi '(1)=0$ si $0<t<1$ como $\lambda-1<0$ entonces si ${ t }^{ \lambda -1 }>1\quad $ implica $\varphi '(1)<0$ y si ${ t }^{ \lambda -1 }<1\quad $ implica $\varphi '(1)>0$ de esa manera $t=1$ es un mínimo, ahora evaluando $\varphi (1)=\lambda +(1-1)-{ 1 }^{ \lambda }=0$ por lo tanto $\varphi (t)>0$ si $t=\frac { \alpha }{ \beta } $ evaluando tenemos:
$$0\le \lambda \frac { \alpha }{ \beta } +(1-\lambda )-{ (\frac { \alpha }{ \beta } ) }^{ \lambda }\\ { (\frac { \alpha }{ \beta } ) }^{ \lambda }\le \lambda \frac { \alpha }{ \beta } +(1-\lambda )\\ \Rightarrow \quad { \alpha }^{ \lambda }{ \beta }^{ \lambda -1 }\le \alpha \lambda +(1-\lambda )\beta\quad {}_{\Box}$$
Ahora ya podemos demostrar la desigualdad de Hölder
DEMOSTRACIÓN
Si ${a}_{n}$ o ${b}_{n}=0$ la desigualdad es trivial tomamos como $\alpha$,$\beta\neq0$ y ${ (\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { |{ a }_{ n }| }^{ p } } ) }^{ \frac { 1 }{ p } }={ (\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { |b_{ n }| }^{ q } } ) }^{ \frac { 1 }{ q } }=1$ y proponemos ${ |{ a }_{ n }| }^{ p }=\alpha $, ${ |{ b }_{ n }| }^{ q }=\beta $, $\frac { 1 }{ q } =\lambda$ y $\frac { 1 }{ q } =1-\lambda $ de esa manera con el lema anterior tenemos que:
$$|{ a }_{ n }||{ b }_{ n }|\le \frac { 1 }{ p } { |{ a }_{ n }| }^{ p }+\frac { 1 }{ q } { |b_{ n }| }^{ q }\quad \forall n\in \mathbb{N}$$
Haciendo la suma:
$$\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ |{ a }_{ n }||{ b }_{ n }| } \le \frac { 1 }{ p } \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { |{ a }_{ n }| }^{ p } } +\frac { 1 }{ q } \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { |b_{ n }| }^{ q } } =\frac { 1 }{ p } +\frac { 1 }{ q } =1$$
Por lo tanto
$$\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ |{ a }_{ n }||{ b }_{ n }| } \le 1$$
Ahora si ${ (\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { |{ a }_{ n }| }^{ p } } ) }^{ \frac { 1 }{ p } }={ (\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { |b_{ n }| }^{ q } } ) }^{ \frac { 1 }{ q } }\neq1$ definamos las sucesiones tales que
$$\left\{ \frac { { a }_{ n } }{ { (\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { |{ a }_{ n }| }^{ p } } ) }^{ \frac { 1 }{ p } } } \right\} _{ n\in N };\quad \left\{ \frac { { b }_{ n } }{ { (\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { |{ b }_{ n }| }^{ q } } ) }^{ \frac { 1 }{ q } } } \right\} _{ n\in N }$$
Entonces tenemos que
$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { |{ a }_{ n }{ b }_{ n }| }{ { (\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { |{ a }_{ n }| }^{ p } } ) }^{ \frac { 1 }{ p } }{ (\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { |{ b }_{ n }| }^{ q } } ) }^{ \frac { 1 }{ q } } } } \le 1$$
Y acomodando:
$$\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ |{ a }_{ n }{ b }_{ n }| } \le { (\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { |{ a }_{ n }| }^{ p } } ) }^{ \frac { 1 }{ p } }{ (\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { |{ b }_{ n }| }^{ q } } ) }^{ \frac { 1 }{ q } }\quad{}_{\Box}$$
Con esto queda demostrado, gracias por su visita y espero sus comentarios.
Comentarios
Publicar un comentario