Seno y coseno de suma de ángulos

Las funciones seno y coseno las podemos expandir a ser una función con dominio complejo gracias a las series de funciones complejas en el que encontramos igualdades que son interesantes y podemos deducir resultados aun mas interesantes, ahora veremos que las propiedades básicas de ambas funciones se cumplen también para complejos. Veamos que:

$$\forall z,w\in C\\ \cos { (z+w) } =\cos { z } \cos { w } -\sin { z } \sin { w } \\ \sin { (z+w) } =\sin { z } \cos { w } +\sin { w } \cos { z } $$

Como se demostró en una antigua publicación, la función exponencial la podemos poner en función de senos y cosenos, también se puede de manera inversa:

$${ e }^{ iz }=\cos { z } +ic\\ { e }^{ -iz }=\cos { z } -i\sin { z } \\ { e }^{ iz }+{ e }^{ -iz }=2\cos { z } \\ { e }^{ iz }-{ e }^{ -iz }=2i\sin { z } \\ \therefore \quad \cos { z } =\frac { { e }^{ iz }+{ e }^{ -iz } }{ 2 } ;\quad \sin { z } =\frac { { e }^{ iz }-{ e }^{ -iz } }{ 2i } $$

DEMOSTRACIÓN

La demostración sera completamente directa y  algebraica. a partir de un lado de la igualdad llegaremos al otro, empezamos con $\cos { z } \cos { w } -\sin { z } \sin { w } $ usando lo anterior:

$$\cos { z } \cos { w } -\sin { z } \sin { w } =(\frac { { e }^{ iz }+{ e }^{ -iz } }{ 2 } \cdot \frac { { e }^{ iw }+{ e }^{ -iw } }{ 2 } )-(\frac { { e }^{ iz }-{ e }^{ -iz } }{ 2i } \cdot \frac { { e }^{ iw }-{ e }^{ -iw } }{ 2i } )\\ =\frac { { e }^{ i(z+w) }+{ e }^{ i(z-w) }+{ e }^{ i(w-z) }+{ e }^{ -i(z+w) } }{ 4 } +\frac { { e }^{ i(z+w) }-{ e }^{ i(z-w) }-{ e }^{ i(w-z) }+{ e }^{ -i(z+w) } }{ 4 } \\ =\frac { 2({ e }^{ i(z+w) }+{ e }^{ -i(z+w) }) }{ 4 } =\frac { { e }^{ i(z+w) }+{ e }^{ -i(z+w) } }{ 2 } =\cos { (z+w) } $$

Solo se hizo uso de leyes de los exponentes y de que ${i}^{2}=-1$, de manera similar ocurre con:

$$\sin { z } \cos { w } +\sin { w } \cos { z } =(\frac { { e }^{ iz }-{ e }^{ -iz } }{ 2i } \cdot \frac { { e }^{ iw }+{ e }^{ -iw } }{ 2 } )+(\frac { { e }^{ iw }-{ e }^{ -iw } }{ 2i } \cdot \frac { { e }^{ iz }+{ e }^{ -iz } }{ 2 } )\\ =\frac { { e }^{ i(z+w) }-{ e }^{ i(z-w) }{ +e }^{ i(w-z) }-{ e }^{ -i(z+w) } }{ 4i } +\frac { { e }^{ i(z+w) }+{ e }^{ i(z-w) }-{ e }^{ i(w-z) }-{ e }^{ -i(z+w) } }{ 4i } \\ =\frac { 2({ e }^{ i(z+w) }-{ e }^{ -i(z+w) }) }{ 4i } =\frac { { e }^{ i(z+w) }-{ e }^{ -i(z+w) } }{ 2i } =\sin { (z+w) } $$

Con esto queda demostrado, es mucho mas sencillo que algunas demostraciones de geometría analítica o calculo de variable real.