Regla de la cadena en campos escalares

La regla de la cadena es de mucha utilidad en funciones de una dimensión, y tiene gran importación, puede ser extendida a campos escalares.
Teorema:

$$Sea\quad f:S\rightarrow R,\quad S\subseteq { R }^{ n }\quad y\quad \overrightarrow { r } :J\rightarrow S\quad J\subseteq { R }\quad funcion\quad vectorial\quad \\ definimos\quad g(t)=f[\overrightarrow { r } (t)]\quad si\quad t\epsilon J;\quad si\quad \overrightarrow { r' } (t)\quad existe\quad y\quad f\quad es\quad diferenciable\\ en\quad r(t)\quad entonces\quad g'(t)\quad existe\quad y:\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad g'(t)=\left< \nabla f(\overrightarrow { a } ),\overrightarrow { r' } (t) \right> \quad \quad donde\quad \overrightarrow { a } =\overrightarrow { r } (t)$$

Para demostrarlo vamos a usar la formula de la diferenciación de un campo escalar:

$$f(\overrightarrow { a } +\overrightarrow { b } )=f(\overrightarrow { a } )+{ T }_{ a }(\overrightarrow { v } )+\left\| \overrightarrow { v }  \right\| E(\overrightarrow { a } ,\overrightarrow { v } )\\ { T }_{ a }(\overrightarrow { v } )=\left< \nabla f(\overrightarrow { a } ),\overrightarrow { v }  \right> $$

Donde $E(\overrightarrow { a } ,\overrightarrow { v } )$ tiende a 0 cuando $||v||$ tiende a 0 Ta es una transformación lineal y es diferencial de $f$ en $\overrightarrow { a }$ , como en la hipótesis se asegura que la diferenciabilidad en $\overrightarrow { r } (t)$ y $t$ existen se podrá hacer usa de esa definición, $S$ es un conjunto abierto. Usaremos el producto punto tradicional de un campo escalar:

$$\left< \overrightarrow { x } ,\overrightarrow { y }  \right> =\sum _{ k=1 }^{ n }{ { x }_{ k }{ y }_{ k } } \quad \forall \overrightarrow { x } ,\overrightarrow { y } \in { R }^{ n }$$

DEMOSTRACIÓN

Como $S$ es un conjunto abierto existe una n-bola dentro de $S$ y sea algun $h$ muy pequeño tal que $\overrightarrow { r } (t+h)$ esta contenida en tal n-bola, definamos $\overrightarrow { y } =\overrightarrow { r } (t+h)-\overrightarrow { r } (t)$ notese que $\overrightarrow { y }$ tiende a 0 cuando $h$ tiende a 0 y definamos tambien desde un principio que $\overrightarrow { a } =\overrightarrow { r } (t)$. Podemos establecer lo siguiente:
$$g(t+h)-g(t)=f[\overrightarrow { r } (t+h)]-f[\overrightarrow { r } (t)]=f(\overrightarrow { a } +\overrightarrow { y } )-f(\overrightarrow { a } )$$

Todo esto es valido, solo es cambiar las variables, ahora ya podemos aplicar la formula de la diferenciación vista al principio.

$$f(\overrightarrow { a } +\overrightarrow { y } )-f(\overrightarrow { a } )=\left< \nabla f(\overrightarrow { a } ),\overrightarrow { y }  \right> +\left\| \overrightarrow { y }  \right\| E(\overrightarrow { a } ,\overrightarrow { y } )$$

Podemos regresar a las variables iniciales ya que hemos llegado a esta expresión, y dividir entre $h$:

$$\frac { g(t+h)-g(t) }{ h } =\left< \nabla f(\overrightarrow { a } ),\frac { \overrightarrow { r } (t+h)-\overrightarrow { r } (h) }{ h }  \right> +(\frac { \left\| \overrightarrow { r } (t+h)-\overrightarrow { r } (h) \right\|  }{ h } )E(\overrightarrow { a } ,\overrightarrow { r } (t+h)-\overrightarrow { r } (h))$$

Podemos aplicar el proceso de limite, y no queda indefinido ya que $E(\overrightarrow { a } ,\overrightarrow { y } )$ esta definida en el 0 es decir $E(\overrightarrow { a } ,\overrightarrow { 0 } )$ y en lo demas queda lo deseado:

$$\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { g(t+h)-g(t) }{ h }  } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ [\left< \nabla f(\overrightarrow { a } ),\frac { \overrightarrow { r } (t+h)-\overrightarrow { r } (h) }{ h }  \right> +(\frac { \left\| \overrightarrow { r } (t+h)-\overrightarrow { r } (h) \right\|  }{ h } )E(\overrightarrow { a } ,\overrightarrow { r } (t+h)-\overrightarrow { r } (h))] } \\ g'(t)=\left< \nabla f(\overrightarrow { a } ),\overrightarrow { r' } (t) \right> $$

Por lo tanto queda demostrado el teorema.

La expresión puede expresarse en términos menos generales que faciliten los cálculos:

$$g'(t)=\left< \nabla f(\overrightarrow { a } ),\overrightarrow { r' } (t) \right> \\ \nabla f(\overrightarrow { a } )=(\frac { \partial f(\overrightarrow { a } ) }{ \partial { x }_{ 1 } } ,\frac { \partial f(\overrightarrow { a } ) }{ \partial { x }_{ 2 } } ,...,\frac { \partial f(\overrightarrow { a } ) }{ \partial { x }_{ n } } )\\ \overrightarrow { r } '(t)=(r'_{ 1 }(t),{ r' }_{ 2 }(t),..,{ r' }_{ n }(t))\\ g'(t)=\frac { \partial f(\overrightarrow { a } ) }{ \partial { x }_{ 1 } } r'_{ 1 }(t)+\frac { \partial f(\overrightarrow { a } ) }{ \partial { x }_{ 2 } } { r' }_{ 2 }(t)+...+\frac { \partial f(\overrightarrow { a } ) }{ \partial { x }_{ n } } { r' }_{ n }(t)\\ g'(t)=\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { \partial f(\overrightarrow { a } ) }{ \partial { x }_{ k } } { r' }_{ k }(t) } $$

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