Igualdad de derivadas parciales mixtas

Que es lo que ocurre cuando tenemos una campo escalar de ${\mathbb{R}}^{2}$ y derivamos primero con respecto a una variable y después respecto a la otra, obtenemos una derivada segundo orden, pero si hacemos de forma inversa, ¿Acaso se llega a la misma derivada?
El siguiente teorema comprueba la igualdad de ambas igualdades solo si la funcion es continua exactamente en ese punto:

$$TEOREMA\\ Si\quad f:S\rightarrow \mathbb{R}\quad S\subseteq { \mathbb{R} }^{ 2 }\quad y\quad \frac { \partial f }{ \partial x } ,\frac { \partial f }{ \partial y } ,\frac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial x\partial y } ,\frac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial y\partial y } \quad existen,\\ si\quad \frac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial x\partial y } \quad y\quad \frac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial y\partial y } \quad son\quad continuas\quad en\quad (a,b)\in S\\ entoces\quad \frac { { \partial  }^{ 2 }f(a,b) }{ \partial x\partial y } =\frac { { \partial  }^{ 2 }f(a,b) }{ \partial y\partial y } $$

Escogi la demostracion de ese teorema debido a que no se demuestra de una forma directa, de hecho se tienen que construir 3 funciones nuevas, por lo cual no es muy intuitivo en cierta manera.

DEMOSTACIÓN

Primero definiremos un rectángulo en el que las esquinas estan definidas por diferentes valores de $(a,b)$ aumentando un valor $(h,k)$ tal como el siguiente gráfico:  

Apartir de ese cuadro, definimos la función $\Delta$ en función de $h$, $k$ y $f$, se alternan los signos como en la figura, notese que cuando $(h,k)$ tiende a $(0,0)$ la función también.$$\Delta (h,k)=f(a+h,b+k)-f(a+h,b)-f(a,b+k)+f(a,b)$$
Ahora usaremos una nueva funcion de una variable $G$ para poder usar el teorema del valor medio definida desde $a$ a $a+k$:$$G(x)=f(x,b+k)-f(x,b)\\ \Delta (h,k)=G(a+h)-G(a)$$

Ahora consideremos el teorema del valor medio para G llegamos a que:

$G(a+h)-G(a)=G({x}_{1})h$ para algun ${x}_{1}\in[a,a+h]$

$$G'({ x }_{ 1 })=\frac { \partial f({ x }_{ 1 },b+k) }{ \partial x } -\frac { \partial f({ x }_{ 1 },b) }{ \partial x } \\ \Delta (h,k)=\left[ \frac { \partial f({ x }_{ 1 },b+k) }{ \partial x } -\frac { \partial f({ x }_{ 1 },b) }{ \partial x }  \right] h$$

El teorema del valor medio lo podemos volver a aplicar pero ahora en la segunda coordenada$$\frac { \partial f({ x }_{ 1 },b+k) }{ \partial x } -\frac { \partial f({ x }_{ 1 },b) }{ \partial x } =\left[ \frac { { \partial  }^{ 2 }f({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 }) }{ \partial x\partial y }  \right] k\quad { y }_{ 1 }\in [b,b+k]\\ \Delta (h,k)=\left[ \frac { { \partial  }^{ 2 }f({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 }) }{ \partial x\partial y }  \right] hk$$

La derivada nos quedo de forma que se derivo de $x$ y luego de $y$, necesitamos que ahora sea al revés, definimos una función parecida a $G$ pero ahora con el aumento en la segunda coordenada.
$$H(y)=f(a+h,y)-f(a,y)$$

De una forma completamente análoga a lo hecho con G ahora H presenta lo mismo solo que ahora el orden de derivación queda invertido $$\Delta (h,k)=\left[ \frac { { \partial  }^{ 2 }f({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 }) }{ \partial y\partial x }  \right] hk\\ \Rightarrow \frac { { \partial  }^{ 2 }f({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 }) }{ \partial x\partial y } =\frac { { \partial  }^{ 2 }f({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 }) }{ \partial y\partial x } $$

Ahora recordemos que $f$ es continua en $(a,b)$ y que el rectángulo tiende a ser el punto $(a,b)$ cuando $(h,k)$ tiende a $(0,0)$, ${x}_{1}\in[a,a+h]\quad {y}_{1}\in[b,b+k] $ cuando $(h,k)\rightarrow (0,0) \quad{x}_{1}=a$ y ${y}_{1}=b$ como $f$ es continua en $(a,b)$

$$\therefore  \frac { { \partial  }^{ 2 }f(a,b) }{ \partial x\partial y } =\frac { { \partial  }^{ 2 }f(a,b) }{ \partial y\partial y }$$

Con esto queda demostrado, gracias por su visita.