Identidad de Euler

En esta publicación daré una demostración muy simple de la identidad de Euler

$${ e }^{ i\pi  }+1=0$$

DEMOSTRACIÓN 

Primero consideraremos el numero complejo $z=a+bi$ ($a$ es la parte real y $b$ la imaginaria) con modulo 1, en su forma polar tenemos que $z=(cos(t)+isin(t))$ calculado la derivada
$$z=\cos { \theta  } +i\sin { \theta  } \\ dz=(-\sin { \theta  } +i\cos { \theta  } )d\theta $$

Se puede factorizar un $i$ ya que $i^2=-1$

$$dz=i(\cos { \theta  } +i\sin { \theta  } )d\theta \\ dz=izd\theta $$

Se deja de la forma:

$$\frac { dz }{ z } =id\theta $$

Integrando .

$$\int { \frac { dz }{ z }  } =\int { id\theta  } \\ \Rightarrow \ln { z } =i\theta $$

Lo que nos demuestra que 

$${ e }^{ i\theta  }=z\\ { e }^{ i\theta  }=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$$

Y en un caso particular en el que el angulo es pi obtenemos la identidad 

$${ e }^{ i\pi  }+1=0$$

A partir de este resultado podemos concluir varias cosas interesantes como el calculo de logaritmos

de números negativos.

$$\ln { (-1) } =i\pi \\ \ln { (-\beta ) } =\ln { \beta  } +\ln { (-1) } =\ln { \beta  } +i\pi $$

Gracias por su visita, me gustaría ver sus comentarios.