Identidad de Euler



En esta publicación daré una demostración muy simple de la identidad de Euler
{ e }^{ i\pi  }+1=0

DEMOSTRACIÓN 
Primero consideraremos el numero complejo z=a+bi (a es la parte real y b la imaginaria) con modulo 1, en su forma polar tenemos que z=(cos(t)+isin(t)) calculado la derivada
z=\cos { \theta  } +i\sin { \theta  } \\ dz=(-\sin { \theta  } +i\cos { \theta  } )d\theta


Se puede factorizar un i ya que i^2=-1
dz=i(\cos { \theta  } +i\sin { \theta  } )d\theta \\ dz=izd\theta

Se deja de la forma:
\frac { dz }{ z } =id\theta

Integrando .
\int { \frac { dz }{ z }  } =\int { id\theta  } \\ \Rightarrow \ln { z } =i\theta

Lo que nos demuestra que 
{ e }^{ i\theta  }=z\\ { e }^{ i\theta  }=\cos{\theta}+i\sin{\theta}
Y en un caso particular en el que el angulo es pi obtenemos la identidad 
{ e }^{ i\pi  }+1=0
A partir de este resultado podemos concluir varias cosas interesantes como el calculo de logaritmos
de números negativos.

\ln { (-1) } =i\pi \\ \ln { (-\beta ) } =\ln { \beta  } +\ln { (-1) } =\ln { \beta  } +i\pi


Gracias por su visita, me gustaría ver sus comentarios. 


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