En esta publicación daré una demostración muy simple de la identidad de Euler
{ e }^{ i\pi }+1=0
Primero consideraremos el numero complejo z=a+bi (a es la parte real y b la imaginaria) con modulo 1, en su forma polar tenemos que z=(cos(t)+isin(t)) calculado la derivada
z=\cos { \theta } +i\sin { \theta } \\ dz=(-\sin { \theta } +i\cos { \theta } )d\theta
z=\cos { \theta } +i\sin { \theta } \\ dz=(-\sin { \theta } +i\cos { \theta } )d\theta
Se puede factorizar un i ya que i^2=-1
dz=i(\cos { \theta } +i\sin { \theta } )d\theta \\ dz=izd\theta
Se deja de la forma:
\frac { dz }{ z } =id\theta
Integrando .
\int { \frac { dz }{ z } } =\int { id\theta } \\ \Rightarrow \ln { z } =i\theta
Lo que nos demuestra que
{ e }^{ i\theta }=z\\ { e }^{ i\theta }=\cos{\theta}+i\sin{\theta}
Y en un caso particular en el que el angulo es pi obtenemos la identidad
{ e }^{ i\pi }+1=0
A partir de este resultado podemos concluir varias cosas interesantes como el calculo de logaritmos
de números negativos.
\ln { (-1) } =i\pi \\ \ln { (-\beta ) } =\ln { \beta } +\ln { (-1) } =\ln { \beta } +i\pi
Gracias por su visita, me gustaría ver sus comentarios.
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