Notas

$[1]$ Para todo $x\in[n\pi,(n+1)\pi]$ existe $y\in[(n+1)\pi,(n+2)\pi]$ tal que $\sin x=-\sin y$ $n\in\mathbb{N}$
Solo basta encontrar las soluciones para la ecuación  $\sin x=- \sin y$, aplicando $\sin^{-1}$ de ambos lados obtenemos que $x=-y+\pi$ y esa es la solución para cualquier $n$ ya que son intervalos múltiplos de $\pi$, solo es una aplicación de que $\sin (x)=\sin (x+\pi)$