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Publicado por Alejandro López

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Norma p y norma infinito

Vamos a definir un espacio vectorial de sucesiones que convergen para después establecer la norma en esos espacios vectoriales Sea ${ l }_{ p }=\{ { a }_{ n }|\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left| { a }_{ n } \right| }^{ p } } <\infty \} $ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ también ${ l }_{ \infty }=\{ { a }_{ n }|sup\{ { a }_{ n }\} <\infty \} $ Estos son subespacios vectoriales del espacio de todas las sucesiones. Ahora definimos la norma del espacio ${l}_{p}$, sea $x\in{l}_{p}$ $$NORMA\quad EN\quad { l }_{ p }\\ { \left\| x \right\| }_{ p }={ \left( \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { \left| { x }_{ n } \right| }^{ p } } \right) }^{ \frac { 1 }{ p } }$$ Para demostrarlo tenemos que considerar las características de un espacio normado y demostrarlo. $Sea\quad X\quad un\quad espacio\quad vectorial\quad sobre\quad \mathbb{R},\quad decimos\quad que\\ N:X\rightarrow \mathbb{R}\quad es\quad una\quad norma\quad si\quad a,b\i...

Leyes de De Morgan

Las leyes de De Morgan tienen gran importancia en la logica y de una manera muy especial en la teoria de conjuntos, y a su ves en la probabilidad. Se enuncian como: $$\neg (P\land Q)\Leftrightarrow (\neg P)\lor (\neg Q)\\ \neg (P\lor Q)\Leftrightarrow (\neg P)\land (\neg Q)$$ Suena demasiado obvio, en la teoria de conjuntos la negación de algo significa que es el conjunto complemento, de $A$ seria ${A}^{c}$ y el operador $\land$ es la interseccion y $\lor $ es la unión, de ello tenemos que: $$LEYES\quad DE\quad DE \quad MORGAN\quad EN\quad CONJUNTOS\\ { (A\cup B })^{ c }={ A }^{ c }\cap { B }^{ c }\\ { (A\cap B) }^{ c }={ A }^{ c }\cup { B }^{ c }$$ Su demostración es de una manera sencilla, tomando elementos de cada igualdad. DEMOSTRACIÓN 1)${ (A\cup B })^{ c }={ A }^{ c }\cap { B }^{ c }$ $ \Rightarrow $) Supongamos que $x\in (A\cup { B })^{ c }\quad \rightarrow \quad x\notin A\cup { B }\quad $ de ahi sucede que $x\notin A$ y $x\notin B$ entonces deben esta...

Producto interno de funciones continuas

El producto interno en un espacio lineal se puede definir de varias maneras, siempre y cuando se tengan las características de la definición el mas conocido puede ser el producto punto en que simplemente estaba definido como la suma de cada producto de valores. En esta ocacion vamos a demostrar que la siguiente expresión es un producto interno. $$\left< f,g \right> =\int _{ a }^{ b }{ f(t)g(t)dt } $$ Pero primero tenemos que definir el espacio lineal, usaremos funciones continua es cierto intervalo $[a,b]$: $$V(a,b)=\{ f(x)|\lim _{ x\rightarrow c }{ f(x)=f(c)\quad \forall c\in [a,b]\} } $$ Forma el espacio lineal con la suma común de funciones y la multiplicación por algún numero real (o imaginario, formando un espacio euclidiano complejo). En seguida demostraremos que la formula anterior es un producto interno para ese espacio lineal. DEMOSTRACIÓN En cada propiedad sera demostrado tomando por un hecho varios teoremas de la integ...

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